https://youtu.be/54JVPFBzFXY

Example of vector space

• (예시는 강의 참조)

Thm 1.1 Cancellation Law

• $\forall x, y, z \in V, x + z = y + z \Rightarrow x = y$
• 증명)
  • $(x + z) + (-z) = (y + z) + (-z)$
  • $x + (z + (-z)) = y + (z + (-z))$ (결합법칙)
  • $x + 0 = y + 0$
  • $x = y$

Corollary 1

• Identity 0는 1개 뿐이다.
• 증명)
  • $0$랑 다른 $0'$이 존재한다고 가정하자.
  • $x + 0 = x = x + 0'$
  • cancellation에 의해 $0 = 0'$

Corollary 2

• Inverse는 1개 뿐이다.
• 증명)
  • $x$에 대하여 $a, b$라는 2개의 Inverse가 있다고 가정하자.
  • $x + a = 0$
  • $x + b = 0$
  • $x + a = x + b$
  • cancellation에 의해 $a = b$
• 참고) unique에 대한 증명은 항상 이런 식인데, 처음에 2개가 있다고 가정하고, 결론적으로 그 2개가 같음을 증명해서 1개만 존재 가능함을 증명한다.

Thm 1.2

• $\forall x \in V, 0 \cdot x = \vec{0}$
  • (강의에는 $0$ 으로 나오지만 구분을 위해 화살표를 달아서 $\vec{0}$으로 표기함)
  • 증명)
    • $0 \cdot x = (0 + 0)x = 0 \cdot x + 0 \cdot x$ (분배법칙)
    • $0 \cdot x = 0 \cdot x + 0 \cdot x$
    • cancellation을 이용하여 양변의 $0 \cdot x$를 각각 날려주면 $0 = 0 \cdot x$
• $\forall a \in F, a \cdot \vec{0} = \vec{0}$
  • (강의에는 $0$ 으로 나오지만 구분을 위해 화살표를 달아서 $\vec{0}$으로 표기함)
  • 증명)
    • $a \cdot \vec{0} = a \cdot (\vec{0} + \vec{0}) = a \cdot \vec{0} + a \cdot \vec{0}$ (분배법칙)
    • $a \cdot \vec{0} = a \cdot \vec{0} + a \cdot \vec{0}$
    • cancellation을 이용하여 양변의 $a \cdot \vec{0}$를 각각 날려주면 $0 = a \cdot \vec{0}$
• $\forall x \in V, \forall a \in F, (-a) \cdot x = -(a \cdot x) = a \cdot (-x)$
  • 증명)
    • $a \cdot x + (-a) \cdot x = (a + (-a)) \cdot x = 0 \cdot x = 0$
      • $\therefore (-a) \cdot x$는 $a \cdot x$의 inverse
    • $a \cdot x + a \cdot (-x) = a \cdot (x + (-x)) = a \cdot 0 = 0$
      • $\therefore a \cdot (-x)$는 $a \cdot x$의 inverse

Subspace

• 벡터공간 V의 부분집합 W가 벡터공간이 되면 V의 부분공간이라고 한다.
  • (부분집합이 항상 벡터공간이 되지 않는데, 만일 부분집합이 벡터공간이 된다면 부분공간이라고 하는 것)
  • ex)
    • $\{0\}$는 항상 $V$의 부분공간이 된다.
    • $V$는 항상 $V$의 부분공간이 된다.
• 벡터공간 $V$의 부분집합 $W$가 부분공간이려면 다음 조건을 만족해야 한다.
  • closed
  • $0 \in W$
  • 사실 연산에 대해 닫혀있다는 조건을 만족하면 $0 \in W$이라는 조건은 굳이 필요가 없다. $0 \cdot x = 0$이 닫혀 있으려면 자연스럽게 $0$은 부분집합에 포함되어 있어야 하기 때문
  • (집합이 연산에 대해 닫혀 있다는 것이 성립하려면 연산의 결과가 집합 내에 존재해야 한다)