https://youtu.be/ba7KS9_Xazs
Thm 3.9
- $K$가 $Ax = b (b \neq 0)$의 해 집합일 때
- $K_{H}$는 $Ax = 0$의 해 집합이라고 정의
- $K = \{s\} + K_{H} = \{ s + k : k \in K_{H} \}$
- $s$는 $Ax = b$의 해 중 하나
- (non-homogeneous 방정식을 푸는 방법은 homogeneous 방정식을 먼저 풀고, non-homogeneous의 particular solution을 더해줌으로써 구한다)
- Ex 3)
- $\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 7 \\ -4 \end{array} \right]$ 일 때
- $rank(A) = 2$ (반드시 solution이 존재한다)
- $\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 7 \\ -11 \end{array} \right]$
- homogeneous solution은
- $\left[ \begin{array}{rrr} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right] = c \left[ \begin{array}{rrr} {1 \over 3} \\ -{2 \over 3} \\ 1 \end{array} \right]$
- particular solution을 구하기 위해 free variable에 0을 대입한다.
- $x_{3} = 0$
- $x_{2} = {11 \over 3}, x_{1} = -{1 \over 3}$
- 결과 (homogeneous에 non-homogeneous 해를 1개 더해준 값)
- $\left[ \begin{array}{rrr} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right] = c \left[ \begin{array}{rrr} {1 \over 3} \\ -{2 \over 3} \\ 1 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rrr} -{1 \over 3} \\ {11 \over 3} \\ 0 \end{array} \right]$
- (homogeneous의 해가 원점을 지나는 직선이라고 할 때, non-homogeneous의 해는 원점을 지나지 않는 직선이라고 할 수 있다)
4.1 Determinants of order 2
- 행렬 $A = \left[ \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right] (a, b, c, d \in F)$ 일 때
- $det(A) = |A| = ad - bc$
- (행렬의 경우 절댓값 기호를 씌우면 det를 의미하고, 집합에 절댓값 기호를 씌우면 집합의 원소의 개수를 의미한다.)
- $det(A + B) \neq det(A) + det(B)$
- 따라서 $det : M_{2 \times 2}(R) \to R$는 nonlinear transform이 된다.
- $det(A) \neq 0 \Leftrightarrow A: invertible$
Orientation
- $\beta = \{ u, v \}$를 $R^{2}$의 순서기저라고 할 때, $\beta$의 Orientation은 다음과 같다.
- $O \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] = {det \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] \over \left| det \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] \right|} = \pm 1$
- (orientation은 결국 자기 자신의 절댓값으로 나눈 것이기 때문에 $+1$ 또는 $-1$이 나올 수 밖에 없다. 기저이기 때문에 분모는 $0$이 아님)
- Ex)
- $e_{1} = [1 0], e_{2} = [0 1]$ 일 때
- $det \left[ \begin{array}{rr} e_{1} \\ e_{2} \end{array} \right] = 1$
- $O \left[ \begin{array}{rr} e_{1} \\ e_{2} \end{array} \right] = 1$
- $O \left[ \begin{array}{rr} e_{1} \\ -e_{2} \end{array} \right] = -1$
- orientation 의미는 결국 right-hand system을 만족하느냐를 따지는 것. orientation이 $+1$ 이면 반시계방향으로 회전하고, $-1$이면 시계방향으로 회전한다.
- 임의의 두 벡터 $\{ u, v \} \in R^{2}$는 평행사변형을 만든다.
- 이때 $u, v$를 row로 구성된 행렬의 det의 절댓값은 위 평행사변형의 넓이가 된다.
- 만일 $u, v$가 dependent하면 area는 $0$이 된다. (두 벡터의 방향이 같으므로 넓이가 만들어지지 않는다)
Area function (면적 함수)
- $A \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right]$는 벡터 $u, v$로 만들어 내는 면적이 된다.
- $A \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] = det \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right]$ 또는 $A \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] = -det \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right]$
- $\therefore A \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] = \left| det \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] \right|$
- $A \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] = O \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] \cdot det \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right]$
- Ex)
- $u = (-1, 5), v = (4, -2)$ 일 때
- $\left| \left[ \begin{array}{rr} -1 & 5 \\ 4 & -2 \end{array} \right] \right| = 2 - 9 = -7$
- 벡터 $u$에서 벡터 $v$는 시계방향으로 180도 이하 각도가 되기 때문에 orientation은 $-1$이 된다.
Determinants of order n
- $A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right] \in M_{3 \times 3}(R)$ 일 때
- Submatrix $\tilde{A}{11} \left[ \begin{array}{rr} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} \right], \tilde{A}{13} \left[ \begin{array}{rr} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} \right]$
- Submatrix란 행렬의 원소 $A_{ij}$에 대해 $i$행과 $j$열을 제외한 나머지 원소들의 행렬이 된다.
- Def. $det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1 + j} A_{1j} det(\tilde{A}_{1j})$
- 만일 $A = A_{11}, det(A) = A_{11}$
- (위 식의 정의는 그 자체가 recursive이다. 재귀이기 때문에 탈출문이 필요한데, 맨 마지막에 $1 \times 1$이 될 때 자기 자신을 return 함으로써 식을 종료한다)
Cofactor
- 특별히 $C_{ij} = (-1)^{i+j} det(\tilde{A}{ij})$ 는 $A{ij}$ 의 cofactor라 한다.