https://youtu.be/wDgVLbBG0pQ

Thm 1.4

• 부분공간들의 교집합은 부분공간이다.
• 증명)
  • $V_{i} < V (i = 1, 2, ... , n)$
  • $W = \cap_{i=1}^{n} V_{i}$
  • $x, y \in W \subset V_{i}, x + y \in V_{i}, c \cdot x \in V_{i}$
  • $x + y \in W, c \cdot x \in W$

Linear combination (선형결합)

• $v$를 다음과 같이 표현 가능할 때 $v$를 $u_{1}, u_{2}, ... , u_{n}$의 선형결합이라고 한다.
  • $v = a_{1} v_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n}$
  • ex) $(3, 5) = 3(1, 0) + 5(0, 1)$

Span (생성공간)

• 벡터공간 $V$의 공집합이 아닌 집합 $S$에 대하여
  • $\emptyset \subsetneq S \subset V$
  • $S$ 안의 벡터들의 가능한 모든 선형결합의 집합을 $Span(S)$라 한다.
• 공집합의 Span은 0벡터 하나로 이루어진 벡터공간이라고 정의한다.
  • $Span(\emptyset) = \{ 0 \}$
• ex) $Span\{(1, 0, 0), (0, 1, 0)\}$은 3차원 공간 안의 2차원 평면

Thm 1.5 $S \subset V$

• $span(S)$는 항상 벡터공간 $V$의 부분공간이다.
• 증명)
  • $S = \emptyset$인 경우
    • $span(S) = \{ 0 \}$
    • 정의에 의해 $V$ 의 부분공간
  • $S \neq \emptyset$인 경우
    • $x, y \in span(S), u_{1}, u_{2}, ... , u_{n} \in S$
    • $x = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n}$
    • $y = b_{1} u_{1} + b_{2} u_{2} + ... + b_{n} u_{n}$
    • $x + y \in S, c \cdot x \in S$
    • 따라서 $S$는 부분공간

Any subspace that contains S must contain span(S)

• 부분공간은 하위 집합의 생성공간을 갖는다.
• 증명)
  • $w \in span(S)$
  • $w = c_{1} w_{1} + c_{2} w_{2} + ... + c_{k} w_{k} (w_{1}, w_{2}, ... w_{k} \in S)$
  • $S \subset W \Rightarrow w_{1}, w_{2}, ... , w_{k} \in W$
  • $w = c_{1} w_{1} + c_{2} w_{2} + ... + c_{k} w_{k} \in W$
    • (덧셈과 스칼라곱에 닫혀 있다는 것은 결국 선형결합에 닫혀있다는 뜻이 된다)
  • $\therefore span(S) \subset W$
• (하위 집합의 선형 결합을 통해 벡터 공간을 만든다는 것이 아이디어)

Linear Independence (선형 독립)

• 다음의 조건을 만족할 때 선형 종속이라 한다.
  • $S$에 포함된 벡터 $u_{1}, u_{2}, ... , u_{n}$에 대하여
  • $a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n} = 0$ 이고
  • 위 식을 만족하는 계수가 $0$ 만 가능할 때 선형 독립이라 한다. (각 벡터가 독립적이다)
  • 만일 $0$이 아닌 계수로도 위 식이 만족되면 선형 종속이라 한다. (각 벡터가 독립적이지 않다. 어떤 벡터는 다른 벡터로 정의가 가능하다)