https://youtu.be/yX-dkf4frac

• Identity transformation
  • $I_{V}: V \to V$
  • $x \mapsto x$
  • (자기 자신으로 보내는 변환)
• Zero transformation
  • $T_{0}: V \to W$
  • $x \mapsto 0$
  • (0으로 보내는 변환)
• $T: V \to W$ 에 대하여 Nullspace $N(T)$는 다음과 같다.
  • $N(T) = \{ x \in V : T(x) = 0 \}$
  • ($V$에서 $W$로 가는 선형 변환 $T$에 대하여 $T(x)$가 $0$이 되는 원소들의 집합을 Nullspace $N(T)$라 한다.)
• Range(치역) $R(T)$의 정의는 다음과 같다.
  • $R(T) = \{ T(x) : x \in V \}$
• Ex)
  • $I: V \to V, x \mapsto x$ 일 때
    • $N(I) = \{0\}$
    • $R(I) = V$
  • $T_{0} : V \to W, x \mapsto 0$ 일 때
    • $N(T_{0}) = V$
    • $R(T_{0}) = \{0\}$

Thm 2.1

• $T: V \to W$의 선형변환에서 $N(T)$는 $V$의 부분공간이고, $R(T)$는 $W$ 의 부분공간이다.
• (널공간은 $V$에서 덧셈과 스칼라 곱이 닫혀있고, 치역은 $W$에서 덧셈과 스칼라 곱이 닫혀 있다는 증명 생략)

Thm 2.2

• $T : V \to W$의 선형변환에서 $\beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}$가 $V$의 기저일 때
  • $R(T) = span(T(\beta)) = span(\{ T(v_{1}), T(v_{2}), ... , T(v_{n})\})$
• 증명)
  • $R(T) \supset span(T(\beta))$의 증명
    • $\forall i, T(v_{i}) \in R(T)$
    • $R(T)$는 $W$의 부분공간이므로
    • $span(T(\beta)) \subset R(T)$
  • $R(T) \subset span(T(\beta))$의 증명
    • $w \in R(T) : w = T(v) \exists v \in V$
    • $\beta$는 $V$의 기저이므로
    • $v = \sum_{i=1}^{n} a_{i}v_{i}$
    • 양변에 $T$를 취하면
    • $w = T(v) = \sum_{i=1}^{n} a_{i} T(v_{i}) \in span(T(\beta))$
    • $R(T) \subset span(T(\beta))$
  • $\therefore R(T) = span(T(\beta))$

Thm 2.3 Dimension Theorem

• $dim(N(T)) = nullity, dim(R(T)) = rank$ 라 하자.
• $T : V \to W, dim(V) < \infty$ 일때
  • $nullity(T) + rank(T) = dim(V)$
  • $V$에서 $W$로 가는 선형변환 $T$에서 널공간과 치역의 차원을 합하면 정의역의 차원이 된다.
• 증명)
  • $dim(V) = n$이라 할 때 $N(T) < V$이므로 $dim(N(T)) = k \leq n$
  • 벡터 $\{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{k} \}$를 $N(T)$의 기저라 하면, 이를 확장 시켜서 $V$의 기저 $\beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... v_{k}, v_{k+1}, ... , v_{n} \}$를 만들 수 있다.
  • 이때 $V$의 기저 $\beta$가 되도록 확장시킨 $S = \{ T(v_{k+1}), T(v_{k+2}), ... , T(v_{n}) \}$는 $R(T)$의 기저가 된다.
  • $S$를 span하면 $R(T)$가 되고, $S$가 선형독립이면 $R(T)$의 기저가 되므로 다음과 같이 증명한다.
    • $S$가 $R(T)$를 생성한다는 증명
      • $R(T) = span\{ T(v_{1}), T(v_{2}), ... , T(v_{n}) \}$
      • $= span\{ T(v_{1}) = 0, T(v_{2}) = 0, ... T(v_{k}) = 0, T(v_{k+1}), ... , T(v_{n}) \}$
      • $= span(S)$
    • $S$가 선형 독립이라는 증명
      • $\sum_{i=k+1}^{n} b_{i} T(v_{i}) = 0$
      • $T(\sum_{i=k+1}^{n} b_{i} v_{i}) = 0$
      • $\sum_{i=k+1}^{n} b_{i} v_{i} \in N(T)$
      • $N(T) = \sum_{i=1}^{k} c_{i} v_{i}$ 라 하면
      • $\sum_{i=k+1}^{n} b_{i} v_{i} = \sum_{i=1}^{k} c_{i} v_{i}$
      • $\sum_{i=1}^{k} (-c_{i})v_{i} + \sum_{i=k+1}^{n} b_{i} v_{i} = 0$
      • $\beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}$은 $V$의 기저이므로
      • $\forall i, b_{i} = 0$
      • 그러므로 $S$는 선형독립
      • $\therefore S = \{ T(v_{k+1}), T(v_{k+2}), ... , T(v_{n}) \}$는 $R(T)$의 기저
      • $\therefore dim(R(T)) = rank(T) = n-k$