https://youtu.be/GF5OM2Uqgyo

Linear Independence (선형독립)

• 선형결합이 영벡터의 자명한 표현(trivial representation of 0)인 경우에 선형독립이라 한다.
  • $a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n} \Leftrightarrow a_{1} = a_{2} = ... = a_{n} = 0$

Thm 1.6 $S_{1} \subset S_{2} \subset V$

• $S_{1}$이 선형독립이면 $S_{2}$도 선형독립이다.

Thm 1.7

• 선형독립인 집합 $S$ 에 대하여 $u_{1}, u_{2}, ... , u_{n} \in S, v \in V, v \notin S$ 일 때,
  • $S \cup \{v\}$가 선형종속이면 $v \in span(S)$
• 증명)
  • $\Rightarrow$
    • Suppose $a_{0}v + a_{1} u_{1} + ... + a_{n} u_{n} = 0$
    • $a_{0} \neq 0$
    • $v = a_{0}^{-1} (-a_{1} u_{1} - ... - a_{n} u_{n})$
    • $= -a_{0}^{-1} a_{1} u_{1} - ... - a_{0}^{-1} a_{n} u_{n} \in span(S)$
  • $\Leftarrow$
    • $v \in span(S)$
    • $v = b_{1} v_{1} + b_{2} v_{2} + ... + b_{m} v_{m}$
    • $b_{1} v_{1} + b_{2} v_{2} + ... + b_{m} v_{m} - v = 0$
    • $\{ v_{1}, ... , v_{m}, v \} \subset S \cup \{v\}$

1.6 Base and Dimension

• 벡터공간 $V$의 부분집합 $\beta$가 선형독립이면서 $V$를 생성(span)하면 기저(basis)라한다.
• Ex 1)
  • $span(\emptyset) = \{ 0 \}$
  • $\emptyset$은 선형독립
  • $\Rightarrow \emptyset$은 영 벡터 공간의 기저이다.
• Ex 2)
  • $F^{n}$의 원소가 다음과 같을 때
    • $e_{1} = (1, 0, ... , 0)$
    • $e_{2} = (0, 1, ... , 0)$
    • ...
    • $e_{n} = (0, 0, ... , 1)$
  • $\{ e_{1}, e_{2}, ... , e_{n} \}$을 $F^{n}$의 기저라한다. (이런 기저를 특별히 $F^{n}$의 표준기저라고 한다)

Thm 1.8

• $\beta$가 $V$의 기저일 때
  • $\forall v \in V, v$는 $\beta$의 선형결합으로 유일하게 표현 가능하다.
• 증명)
  • $\Rightarrow$
    • $\beta$가 $V$의 기저 $\Rightarrow span(\beta) = V$
    • $v = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n}$
    • Suppose $v = b_{1} u_{1} + b_{2} u_{2} + ... + b_{n} u_{n}$
    • $0 = (a_{1} - b_{1}) u_{1} + (a_{2} - b_{2}) u_{2} + ... + (a_{n} - b_{n}) u_{n}$
    • 선형독립이었으므로 $a_{1} - b_{1} = a_{2} - b_{2} = ... = a_{n} - b_{n} = 0$
    • 따라서 선형결합은 유일하다.
  • $\Leftarrow$
    • $v = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n}$ 이므로
    • $span(\beta) = V$
    • Suppose $c_{1} u_{1} + c_{2} u_{2} + ... + c_{n} u_{n} = 0$
    • $v = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n}$
    • $= (a_{1} + c_{1}) u_{1} + (a_{2} + c_{2}) u_{2} + ... + (a_{n} + c_{n}) u_{n}$
    • 선형결합이 유일해야 하므로 $c_{1} = c_{2} = ... = c_{n} = 0$
    • 따라서 $\beta = \{ u_{1}, u_{2}, ... , u_{n} \}$는 선형 독립

Thm 1.8의 의미

• $\forall v \in V, \exists_{1} a_{1}, a_{2}, ... , a_{n} \in F$
  • $v = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n}$
  • 기저를 통해 vector의 선형 결합이 유일하게 결정된다.
• $v \Leftrightarrow (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n})$
  • 벡터와 n-tuple은 일대일대응이 된다. (전단사 함수)
• 모든 벡터공간 $V$는 $F^{n}$으로 생각할 수 있다.
  • 함수를 벡터처럼 다룰 수 있다.

Dimension