선형 결합(linear combination)

• $V$가 벡터공간이고 $V$의 공집합이 아닌 부분집합 $S$에 대해 유한개의 벡터 $\bold{u}_1, \bold{u}_2,...,\bold{u}_n \in S$와 스칼라 $a_1, a_2,...,a_n$가 존재할 때, 다음을 만족하는 벡터 $\bold{v} \in V$는 $S$의 선형결합이라 한다.
  • 이때 벡터 $\bold{v}$는 벡터 $\bold{u}_1, \bold{u}_2,...,\bold{u}_n$의 선형결합이고, $a_1, a_2,...,a_n$는 이 선형결합의 계수(coefficient)라 한다.

$$ \bold{v} = \sum_{i=1}^{n} a_i \bold{u}_i $$

• 벡터를 다른 벡터의 결합으로 표현하는 것은 독립과 종속을 구분하는데 사용된다.

선형 종속(linearly dependent), 선형 독립(linearly independent)

• 벡터공간 $V$의 부분집합 $S$에 대해 유한개의 벡터 $\bold{u}_1, \bold{u}_2,...,\bold{u}_n \in S$와 적어도 하나는 0이 아닌 스칼라 $a_1, a_2,...,a_n$가 존재할 때, 다음을 만족하면 집합 $S$는 선형 종속(linearly dependent)라고 한다. 이때 $S$의 벡터 또한 선형 종속이다.

$$ \sum_{i=1}^{n} a_i \bold{u}_i = \bold{0} $$

• 벡터공간의 부분집합 $S$가 선형 종속이 아니면 선형 독립(linearly independent)라고 한다. 이때 $S$의 벡터 또한 선형 독립이다.
• 위의 정의를 직관적으로 하면, $\sum_{i=1}^{n} a_i \bold{u}_i = \bold{0}$ 이 식을 만족하는 방법이 모든 계수가 0이 되어야 하는 경우 $a_1 = a_2 = ... = a_n = 0$ 밖에 없다면 그 집합(과 그 안의 벡터들)은 선형 독립이고, 위 식을 만족하는 적절한 계수가 존재한다면 그 집합(과 그 안의 벡터들)은 선형 종속이 된다.
  • 임의의 벡터 $\bold{u}_1, \bold{u}_2,...,\bold{u}_n$에 대하여 $a_1 = a_2 = ... = a_n = 0$이면, 벡터에 상관없이 $a_1 \bold{u}_1 + a_2 \bold{u}_2 + ... + a_n \bold{u}_n = \bold{0}$이 될 수 밖에 없다. 이를 $\bold{u}_1, \bold{u}_2,...,\bold{u}_n$의 선형결합에 대한 영벡터의 자명한 표현(trivial representation of $\bold{0}$)이라고 한다.
• 벡터공간 $V$의 부분집합이 $S_1 \subseteq S_2 \subseteq V$일 때,
  • $S_1$이 선형종속이면 $S_2$도 선형종속이다.
  • $S_2$이 선형독립이면 $S_1$도 선형독립이다.
• 벡터공간 $V$와 일차 독립인 부분집합 $S$에 대하여 $S$에 포함되지 않은 벡터 $\bold{v} \in V$가 존재할 때, $S \cup \{\bold{v}\}$가 선형종속이기 위한 필요충분조건은 $\bold{v} \in \text{span}(S)$이다.
• 벡터공간 $V$의 선형독립인 생성집합 $S$에는 중요한 특성이 있는데, $V$에 속한 벡터는 반드시 $S$의 선형결합으로 표현할 수 있고, 그 표현은 유일하다는 것이다.
  • 이는 선형독립인 생성집합이 벡터공간을 구성하는 가장 기본적인 레고 조각이라고 볼 수 있다는 뜻이다.

Span

• 벡터공간 $V$의 공집합이 아닌 부분집합 $S$가 있을 때, 의 생성 공간(Span)은 의 벡터를 사용하여 만든 모든 선형결합의 집합이며 $\text{span}(S)$라 표기한다. 편의를 위해 $\text{span}(\empty) = \{ \bold{0}\}$라 정의한다.
• $S$의 생성공간은 를 포함하는 $V$의 부분공간이며, 의 부분공간은 반드시 의 생성공간을 포함한다.
• 벡터공간 $V$의 부분집합 $S$에 대해 $\text{span}(S) = V$이면 는 를 생성한다고 한다.

기저(basis), 차원(dimension)

• 벡터공간 $V$의 부분집합 $\beta$에 대해, $\beta$가 선형독립이고 $V$를 생성하면 $\beta$를 $V$의 기저(basis)라고 한다. $\beta$가 $V$의 기저일 때, $\beta$의 벡터는 $V$의 기저를 형성한다.
  • 벡터공간이 벡터들의 집합이므로, 벡터 공간의 부분집합인 기저 또한 벡터들의 집합이다.
• 벡터공간 $V$에 대해 다음과 같이 생긴 벡터의 집합을 $V$의 표준기저(standard basis)라고 한다.