https://youtu.be/0gzF-S7XYwM

Invertible = one-to-one and onto

1. $(TU)^{-1} = T^{-1}U^{-1}$
2. $(T^{-1})^{-1} = T$
3. 선형변환 $T : V \to W$ 이고 $dim(V) = dim(W) < \infty$ 일 때
   • $T$가 invertible $\Leftrightarrow rank(T) = dim(V), nullity(T) = 0$
   • $T$는 단사함수이고 전사함수여야 한다. (전단사 함수)

Thm 2.17

• invertible한 선형변환 $T : V \to W$
  • $T^{-1} : W \to V$
  • $T^{-1}$ 또한 선형이다.
• Def. 행렬에서의 invertibility
  • 행렬 $A$가 invertible 하면
    • $\exists B, AB = BA = I$
    • $B = A^{-1}$은 unique하다.

Thm 2.18

• 선형변환 $T : V \to W$, $\beta$는 $V$ 의 기저, $\gamma$는 $W$의 기저일 때
  • $T$가 invertible $\Leftrightarrow [T]_{\beta}^{\gamma}$가 invertible
    • $[T^{-1}]{\gamma}^{\beta} = ([T]{\beta}^{\gamma})^{-1}$
  • (선형변환 $T$가 invertible하면 그것의 행렬표현 또한 invertible하고, $T$의 역행렬의 행렬표현은 $T$의 행렬표현의 역행렬과 같다.)

isomorphic

• 벡터공간 $V, W$에 대하여
  • $V$가 $W$에 대해 선형변환 $T : V \to W$가 존재하고, 그것이 invertible 하면 isomorphic하다고 한다.
  • $V \cong W$

Thm 2.19

• $F$를 원소로 하는 유한차원 벡터공간 $V, W$에 대하여
  • $V \cong W \Leftrightarrow dim(V) = dim(W)$
  • ($V$와 $W$가 isomorphic하면 그 $V$ 와 $W$의 차원이 같다)
• 즉, 구조적으로 $n$차원 벡터공간은 $F^{n}$ 밖에 없음

2.5 Change of coordinate matrix(좌표변환 행렬)

• $2x^{2} - 4xy + 5y^{2} = 1$ 이라는 타원의 방정식에 대해 다음과 같이 $x', y'$ 을 잡아 좌표변환을 해주면
  • $x = {2 \over \sqrt{5}}x' - {1 \over \sqrt{5}}y'$
  • $y = {1 \over \sqrt{5}}x' + {2 \over \sqrt{5}}y'$
• 위의 타원 방정식을 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.
  • $(x')^{2} + 6(y')^{2} = 1$

좌표변환행렬 $Q = [I]_{\beta'}^{\beta}$

• $Q = [I]_{\beta'}^{\beta}$ (좌표변환 행렬은 보통 $Q$로 표시)
  • $[v]{\beta} = [Iv]{\beta} \\ = [I]{\beta'}^{\beta} [v]{\beta'} \\ = Q[v]_{\beta'}$