https://youtu.be/VO8eZaHfTww

Inner product space

(지난 강의 설명 생략)

• $x = (1 + i, 4), y = (2 - 3i, 4 + 5i), x, y \in C^{2}$ 일 때, $x, y$의 inner product는 다음과 같다.
  • $\langle x, y \rangle = (1+i)(2+3i) + 4(4-5i) = 15 - 15i$
  • (뒤에 곱해주는 벡터는 복소수 앞의 부호가 반전 됨을 주의(켤레). 벡터가 $R$에 속할 때는 복소수가 없기 때문에 그냥 곱해줬던 것)
• Ex 3)
  • $V = C([0, 1])$
    • ($[0, 1]$사이의 연속 함수들의 집합일 때)
    • $\langle f, g \rangle = \int_{0}^{1} f(t) g(t) dt$

Def. Conjugate transpose

• $A \in M_{m \times n}(F)$ 일 때 $A$의 Conjugate transpose는 $A*$라 한다.
• Conjugate transpose는 책마다 adjoint 라고도 하고 Hermitian이라고도 한다. (다 동일한 개념) 각각 기호는 다음과 같다.
  • $A* = A^{H} = A^{\dagger}$
• Conjugate transpose는 대각선 위치에 있는 원소들은 켤레 복소수로 만들고, 그 밖의 원소들은 켤레 복소수로 만들면서 위치를 tranpose 해준다.
  • $\left[ \begin{array}{rr} 1 & 1 - 2i \\ 2 - i & 1 + i \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 + i \\ 1 + 2i & 1 - i \end{array} \right]$

Def. Norm of x

• inner product 가 있는 vector space를 inner product space라 한다.
• Norm은 inner product가 있으면 자동적으로 파생된다.
• 벡터 $x$의 norm은 다음과 같이 정의된다.
  • $\|x\| = \sqrt{ \langle x, x \rangle }$
    • (자기 자신을 내적한 후에 루트를 씌운 것)
• Ex 6)
  • $x = (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}) \in F^{n}$ 일 때
    • $\|x\| = \sqrt{|a_{1}|^{2} + |a_{2}|^{2} + ... + |a_{n}|^{2}}$

Thm 6.2

• $\| c \cdot x \| = |c| \cdot \|x\|$
• $\|x\| = 0$인 경우는 $x = 0$인 경우 밖에 없다.
  • $\|x\| \geq 0$

inequality

• Cauchy-Schwartz inequality
  • $| \langle x, y \rangle | \leq \|x\| \cdot \|y\|$
  • (두 벡터의 내적의 절대값이 각각의 norm의 곱보다 작다)
• Triangular inequality (삼각 부등식)
  • $\| x + y \| \leq \|x\| + \|y\|$
  • (두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이 보다 항상 크다)