(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
1
개념
- 순서쌍
- $(a, b) = \{ \{a\}, \{a,b\}\}$
- 카테시안(곱집합)
- 데카르트의 이름을 따서 지은 이름
- $A \times B = \{ (a, b) | a \in A, b \in B \}$
- 카테시안은 순서쌍 개념이기 때문에, 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않는다.
- $A \times B \neq B \times A$
- $A \times (B \times C) \neq (A \times B) \times C$
- 직선을 $\mathbb{R}$, 원을 $S^{1}$이라 할 때
- $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ : 평면
- $S^{1} \times \mathbb{R}$: 원주면
- $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ : 3차원 유클리드 공간
- $S^{1} \times S^{1}$: 도넛면, 토러스
카테시안식
- $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$
- $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$
- $A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C)$
- $(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)$
- $(A \times B) \cup (C \times D) \subseteq (A \cup C) \times (B \cup D)$
- $(A \times B)^{c} = (A^{c} \times B^{c}) \cup (A^{c} \times B) \cup (A \times B^{c})$
- $A \subseteq B \Rightarrow A \times C \subseteq B \times C$
- $(A, B \neq \emptyset) \Leftrightarrow A \subseteq C \wedge B \subseteq D$