부분 공간(subspace)

• $F$-벡터공간 $V$에 대한 부분집합 $W$가 합과 스칼라 곱을 가진 $F$-벡터공간일 때 $W$를 $V$의 부분공간(subspace)라고 한다.
• 부분집합 $W$가 $V$의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 다음의 4가지 성질을 만족하는 것이다.
  1. 모든 $\bold{x, y} \in W$에 대하여 $\bold{x} + \bold{y} = W$이다. ($W$는 덧셈에 대해 닫혀 있다.)
  2. 모든 $c \in F$와 모든 $\bold{x} \in W$에 대하여 $c\bold{x} \in W$이다. ($W$는 스칼라 곱에 대해 닫혀 있다.)
  3. $\bold{0} \in W$
  4. $W$에 속한 모든 벡터의 덧셈에 대한 역벡터는 $W$의 원소이다.

직합(direct sum)

• 벡터공간 $V$와 부분공간 $W_1, W_2$에 대하여 $W_1 \cap W_2 = \{ \bold{0}\}$이고 $W_1 + W_2 = V$이면 는 $W_1$와 $W_2$의 직합이라 하고 아래와 같이 표기한다.

$$ V = W_1 \oplus W_2 $$

• 유한차원 벡터공간 $V$의 부분공간 $W_1,W_2,...,W_k$에 대하여 다음 조건은 동치이다.
  1. $V= W_1 \oplus W_2 \oplus ... \oplus W_k$
  2. $V = \sum_{i=1}^{k} W_i$이고 $\bold{v}_i \in W_i \ (1 \leq i \leq k)$인 임의의 $\bold{v}_1, \bold{v}_2,..., \bold{v}_k$에 대하여 $\bold{v}_1 + \bold{v}_2 + ... + \bold{v}_k = \bold{0}$일 때 모든 $i$에 대하여 $\bold{v}_i = \bold{0}$
  3. 모든 $\bold{v} \in V$마다 $\bold{v} = \bold{v}_1 + \bold{v}_2 + ... + \bold{v}_k$ 꼴로 표현하는 방법이 유일하다. (이때 $\bold{v}_i \in W_i$)
  4. $W_i \ (1 \leq i \leq k)$의 순서기저 $\gamma_i$에 대하여 $\gamma_1 \cup \gamma_2 \cup ... \cup \gamma_k$는 $V$의 순서기저이다.
  5. 각 $i = 1, 2, ..., k$에 대하여 $\gamma_1 \cup \gamma_2 \cup ... \cup \gamma_k$가 $V$의 순서기저가 되도록 하는 $W_i$의 순서기저 $\gamma_i$가 존재한다.

내적 공간(inner product space)

• 벡터 공간의 정의에는 내적이 정의되어 있지 않기 때문에 벡터 공간에 내적 연산(inner product)을 적용한 내적 공간(inner product space)을 정의한다.
• $F$-벡터공간 $V$에 대해 $V$에 정의된 내적(inner product) $\langle \bold{x}, \bold{y} \rangle$은 $V$의 임의의 벡터 $\bold{x}$와 $\bold{y}$의 순서쌍을 스칼라(체 $F$의 원소)에 대응시키는 조건을 만족한다.
  • 아래 식에 대해 $\bold{x,y,z} \in V$이고 $c \in F$이다.
  1. $\langle \bold{x} + \bold{z,y} \rangle = \langle \bold{x,y} \rangle + \langle \bold{z,y}\rangle$
  2. $\langle c\bold{x,y} \rangle = c\langle \bold{x,y} \rangle$
  3. $\langle \bold{x,y}\rangle = \overline{\langle \bold{y,x} \rangle}$ ($\overline{\bold{z}}$는 $\bold{z}$의 켤레 복소수)
  4. $\bold{x} \neq 0$일 때, $\langle \bold{x, x}\rangle$는 양수이다.
• 실제 내적 연산 $\langle \cdot, \cdot \rangle$은 두 벡터에 다음과 같이 요소별 곱을 합하는 연산으로 정의 된다.
  • 두 번째 벡터에 대해서 켤레를 취하여 곱하는 것에 유의. 따라서 $\langle \bold{x,y}\rangle \ne \langle \bold{y,x} \rangle$이다.

$$ \langle \bold{x,y} \rangle = \sum_{i=1}^{N} x_i \bar{y}_i $$

• 만일 두 벡터가 실수라면 벡터의 켤레는 자기 자신과 같으므로 다음과 같이 계산할 수 있고, $\langle \bold{x,y}\rangle = \langle \bold{y,x} \rangle$가 성립한다.

$$ \langle \bold{x,y} \rangle = \sum_{i=1}^{N} x_i y_i $$

• 내적공간 $V$에서 벡터 $\bold{x,y,z} \in V$와 스칼라 $c \in F$에 대해 다음이 성립한다.
  1. $\langle \bold{x, y + z} \rangle = \langle \bold{x,y} \rangle + \langle \bold{x,z}\rangle$
  2. $\langle \bold{x}, c\bold{y} \rangle = \overline{c}\langle \bold{x,y} \rangle$
  3. $\langle \bold{x, 0} \rangle = \langle \bold{0,x} \rangle = 0$
  4. $\langle \bold{x, x} \rangle = 0 \Leftrightarrow \bold{x} = \bold{0}$
  5. 모든 $\bold{x} \in V$에 대해 $\langle \bold{x, y} \rangle = \langle \bold{x,z} \rangle$이면 $\bold{y} = \bold{z}$

내적 계산 예

• 두 실수 벡터 $\bold{x,y}$가 다음과 같을 때

$$ \bold{x} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}, \bold{y} = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} $$

• 내적은 다음과 같이 계산된다.