지수와 로그는 정의에 의해 다음의 관계를 갖는다.
$$ a^x = y \Leftrightarrow x = \log_a y $$
이는 왼쪽의 식의 양변에 $a$를 밑(base)으로 하는 $\log$를 취하면 쉽게 성립함을 보일 수 있다.
$$ \log_a a^x = \log_a y \Rightarrow x \cdot \cancel{\log_a a} = \log_a y $$
지수와 로그의 관계를 이용하면 어떤 수를 밑으로 하는 지수도 다른 수를 밑으로 사용하는 수로 표현할 수 있다. 예컨대 $a^x$를 $b$를 밑으로하는 식으로 수정하면 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$ a^x = b^{x \log_b a} $$
마찬가지로 양변에 $b$를 밑으로 하는 $\log$를 취하면 쉽게 성립함을 볼 수 있다.
$$ \log_b a^x = \log_b b^{x \log_b a} \Rightarrow x\log_b a = x\log_b a \cdot \cancel{\log_b b} $$
참고로 지수와 로그의 관계를 이해하면 log의 입력이 밑(base) 보다 작을 때 음수가 나오는지도 이해할 수 있다. 예컨대 아래 식에 대해 $y=-1$이 되어야 함을 알 수 있다. 이것은 지수 관계일 때 지수인 $y$가 음수가 되어서 역수가 되어야 결과가 부합하기 때문이다. 즉 로그의 입력이 밑보다 작을 수록 지수부는 큰 음수가 되어야 한다.
$$ \log_{10} (0.1) = y \Rightarrow 10^y = 0.1 $$
‘오일러 상수’ 또는 ‘자연 로그의 밑’으로 불리는 $e$는 2.718…의 값을 갖는 초월수로 다음과 같이 정의된다.
$$ e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + {1 \over n}\right)^n = \lim_{n \to 0} (1 + n)^{1 \over n} = \sum_{n=0}^{\infty} {1 \over n!} $$
$e$는 복리를 계산하거나 다양한 자연 현상에서 발견되는 패턴과도 관계가 있지만, 지수에 대해 미분과 적분의 결과가 자기 자신이 된다는 점에서 매우 특수한 수이다.
$$ \begin{aligned} {d \over dx} e^x &= e^x \\ \int e^x dx &= e^x + C \end{aligned} $$
지수와 로그의 관계에서 보았듯이 모든 지수는 다른 수의 지수에 $\log$를 결합한 형태로 표현 가능하기 때문에, 모든 지수는 $e$를 통해 표현가능하다.
$$ a^x = y \Leftrightarrow e^{x \log_e a} = y $$
이러한 편리함 때문에 지수나 $\log$를 다룰 때는 밑을 $e$로 설정하는 것이 일반적이다. 참고로 $e$를 밑으로 하는 $\log$는 특별히 자연 로그라고 말하며 $\ln$으로 줄여서 표기할 수 있다.
$$ \log_ex = \ln x $$