대각화(diagonalization)

• 유한차원 벡터공간 $V$의 선형연산자 $T$가 대각화가능하기 위한 필요충분조건은 의 고유벡터로 이루어진 의 순서기저 $\beta$가 존재하는 것이다.
  • 또한 $T$가 대각화가능하면 $\beta = \{ \bold{v}_1, \bold{v}2,...,\bold{v}n \}$는 $T$의 고유벡터로 이루어진 순서기저이며 $\bold{D} = [T]\beta$는 대각행렬이다. 이때 $D{jj}(1 \leq j \leq n)$는 $\bold{v}_j$에 대응하는 고윳값이다.
• 행렬 $\bold{A} \in M_{n \times n}(F)$가 대각화가능하기 위한 필요충분조건은 $\bold{A}$의 고유벡터로 이루어진 $F^n$의 순서기저가 존재하는 것이다.
  • 또한 $\{ \bold{v}_1, \bold{v}_2, ... , \bold{v}_n \}$은 $\bold{A}$의 고유벡터로 이루어진 $F^n$의 순서기저이고 $j$열이 벡터 $\bold{v}j$인 $n \times n$ 행렬 $\bold{Q}$에 대하여 $\bold{D} = \bold{Q}^{-1}\bold{AQ}$는 $D{jj}$가 $\bold{v}_j$에 대응하는 $\bold{A}$의 고윳값인 대각행렬이다.
  • 즉 행렬 $\bold{A}$가 대각화가능하기 위한 필요충분 조건은 대각행렬과 닮음인 것이다.
• 벡터공간의 선형연산자 $T$와 $T$의 서로 다른 고윳값 $\lambda_1, \lambda_2,...,\lambda_k$를 생각하자. 각 $i = 1,2,..,k$에 대하여 $\lambda_i$에 대응하는 $T$의 고유벡터로 이루어진 유한집합을 $S_i$라 하자. 각 $S_i (i = 1, 2,...,k)$가 선형독립이면 $S_1 \cup S_2 \cup ... \cup S_k$도 선형독립이다.
• $n$차원 벡터공간의 선형연산자 $T$가 서로 다른 $n$개의 고윳값을 가지면 $T$는 대각화가능하다.
  • 그러나 이것의 역은 성립하지 않는다. $T$가 대각화가능하다고 해서 반드시 서로 다른 $n$개의 고윳값이 있다고 할 수 없다.
• 다음 조건을 만족하는 다항식 $f(t) \in P(F)$를 $F$ 위에서 완전히 인수분해 된다(split over $F$)라고 한다. 이때 스칼라 $\bold{A}$ 중 같은 값이 있을 수 있다.

$$ f(t) = c(t-a_1)(t-a_2)...(t-a_n) $$

• $F$-벡터공간 $V$의 대각화가능한 선형연산자의 특성다항식은 $F$ 위에서 완전히 인수분해 된다.
  • 이것의 역은 거짓이다. $T$의 특성다항식이 완전히 인수분해되어도 $T$는 대각화불가능할 수 있다.
• 특성다항식이 $f(t)$인 선형연산자(또는 행렬)의 고윳값 $\lambda$에 대하여, $(t - \lambda)^k$이 $f(t)$의 인수가 되도록하는 가장 큰 자연수 $k$를 $\lambda$의 중복도(multiplicity) 또는 대수적 중복도(algebraic multiplicity)라 한다.
• 벡터공간 $V$의 선형연산자 $T$와 고윳값 $\lambda$에 대하여, 다음 집합 $E_\lambda$를 고윳값 $\lambda$에 대응하는 $T$의 고유공간(eigenspace)라 한다.

$$ E_\lambda = \{ \bold{x} \in V : T(\bold{x}) = \lambda \bold{x} \} = N(T - \lambda \bold{I}_V) $$

• 이와 비슷하게 $\lambda$에 대응하는 $L_\bold{A}$의 고유공간을 $\lambda$에 대응하는 정사각행렬 $\bold{A}$의 고유공간이라 한다.
• 유한차원 벡터공간 $V$의 선형연산자 $T$와 중복도가 $m$인 $T$의 고윳값 $\lambda$에 대하여 $1 \leq \dim(E_\lambda) \leq m$이다.
• 유한차원 벡터공간 $V$의 선형연산자 $T$에 대하여 $T$의 특성다항식이 완전히 인수분해되고 $\lambda_1, \lambda_2,...,\lambda_k$가 서로 다른 $T$의 고윳값일 때 다음이 성립한다.
  1. $T$가 대각화가능하기 위한 필요충분조건은 모든 $i$에 대하여 $\lambda_i$의 중복도가 $\dim(E_{\lambda_i})$와 같은 것이다.
  2. $T$가 대각화가능하고 각각의 $i$에 대하여 $\beta_i$가 $E_{\lambda_i}$의 순서기저일 때, $\beta = \beta_1 \cup \beta_2 \cup ... \cup \beta_k$는 $T$의 고유벡터로 이루어진 $V$의 순서기저이다.
• $n$차원 벡터공간 $V$의 선형연산자 $T$가 대각화 가능하기 위한 필요충분조건은 다음 두 조건이 모두 성립하는 것이다.
  1. $T$의 특성다항식이 완전히 인수분해 된다.
  2. $T$의 고윳값 $\lambda$의 중복도가 $\text{nullity}(T - \lambda \bold{I})$와 같다. 즉 $\lambda$의 중복도는 $n - \text{rank}(T - \lambda \bold{I})$이다.
• 유한차원 벡터공간 $V$의 선형연산자 $T$가 대각화가능하기 위한 필요충분조건은 $V$가 $T$의 고유공간의 직합인 것이다.
• 행렬 $\bold{A} \in M_{n \times n}(F)$가 서로 다른 $n$개의 서로 다른 고윳값을 가지면 $\bold{A}$는 대각화가능하다.
• 행렬 $\bold{A}$의 고윳값과 이에 대응하는 단위벡터인 고유벡터를 각각 아래와 같이 정의하자.

$$ \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n, \\ \bold{v}_1, \bold{v}_2, ... , \bold{v}_n $$