https://youtu.be/wziSZM5_rLs

Type 2 operation

• 행렬 $B$가 행렬 $A$의 어떤 행에 non-zero인 $k$를 곱해준 행렬이라고 할 때
  • $det(B) = k \cdot det(A)$
  • (Type 2 연산을 한 경우 곱해준 상수만큼 det가 변한다)
• $det(kA) = k^{n} det(A)$
  • (행렬에 상수를 곱해준 결과의 determinant는 행렬의 det에 $k^{n}$을 곱한 것과 같다. row가 $n$ 개 이기 때문)

Determinant of upper triangular matrix

• $A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{array} \right]$ 일 때
  • $det(A) = 24$ 이것은 대각 원소들의 곱이면서 pivot들의 곱과 같다.
• (계산하는 예제 생략 - upper triangular matrix로 변환하면서 type1 연산을 1회 해줬기 때문에 최종 det값에 -를 곱해주는 것에 주의)
• (cofactor보다 row operation이 determinant를 구하는게 훨씬 쉽다)

4.3 Properties of determinant

• $E = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right]$ 인 경우
  • 단위 행렬의 row exchange matrix이므로 $det(E) = -1$
  • (Type 1 연산을 하면 det에 $-1$이 곱해진다.)
• $E = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$ 인 경우
  • 단위 행렬에 한 행에 $2$를 곱해준 matrix이므로 $det(E) = 2$
  • (Type 2 연산을 하면 det에 $k$가 곱해진다.)
• $E = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$ 인 경우
  • 단위 행렬의 한 행을 곱해서 다른 행에 더해준 matrix이므로 $det(E) = 1$
  • (Type 3 연산은 det에 변화가 없다.)

Thm 4.7 $det(AB) = det(A) det(B)$

• 행렬 $A: n \times n$ 일 때
  • $rank(A) = n$이면 (full rank일 때)
  • $\Leftrightarrow A : invertible$
  • $\Leftrightarrow A$는 elementary matrix들의 곱이 된다.
    • (elementary matrixs는 단위행렬에 elementary row operation을 1회 적용해 준 행렬)
  • $\Leftrightarrow A$는 nonsingular
    • (nonsingular란 정칙행렬 또는 가역행렬. $A$가 정칙행렬이면 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ 가 성립한다.)
  • $\Leftrightarrow det(A) \neq 0$
  • $det(A) det(A^{-1}) = det(I) = 1$
  • $det(A) = det(A^{t})$

Thm 4.9 Cramer's rule

• $Ax = b$ 일 때
  • $det(A) \neq 0$ 이면
  • $x_{k} = {det(M_{k}) \over det(A)}$
  • $M_{k}$는 $A$의 $k$ -th column을 $B$로 치환한 행렬
• Ex 1)
  • $\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right]$
  • $x_{1} = {det(M_{1}) \over det(A)} = {\left| \begin{array}{rrr} 2 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right| \over det(A)}$
  • $x_{2} = {det(M_{2}) \over det(A)} = {\left| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right| \over det(A)}$
  • $x_{3} = {det(M_{3}) \over det(A)} = {\left| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right| \over det(A)}$
  • (Cramer's rule은 제약조건도 많고, determinant를 구하는 것도 번거롭고 나눗셈도 해줘야 하기 때문에 유용하지는 않음)

$A: 3 \times 3$ matrix

• $|det(A)|$의 의미는 평행 6면체의 부피가 된다.
  • $a_{1} = (1, -2, 1)$
  • $a_{2} = (1, 0, -1)$
  • $a_{3} = (1, 1, 1)$
  • $\left| det \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right] \right| = 6$

Diagonalization (대각화)