• 행렬식은 정사각행렬 $\bold{A} \in M_{n \times n}(F)$에서만 정의 가능하다.

2차 정사각 행렬의 행렬식

• 체 $F$의 원소를 성분으로 하는 $2 \times 2$ 행렬 $\bold{A} = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d\end{matrix} \right)$에 대해 스칼라 $ad - bc$를 $\bold{A}$의 행렬식(determinant)이라 하며 $\det(\bold{A})$ 또는 $|\bold{A}|$로 표기한다.
• 함수 $\det: M_{2\times 2}(F) \to F$는 $2\times 2$ 행렬의 다른 행이 고정되어 있을 때, 행렬의 각 행에 대하여 선형함수이다. 즉 $\bold{u, v, w} \in F^2$과 스칼라 $k$에 대해 다음 두 식이 성립한다.

$$ \det \left( \begin{matrix} \bold{u} + k\bold{v} \\ \bold{w} \end{matrix} \right) = \det \left( \begin{matrix} \bold{u} \\ \bold{w} \end{matrix} \right) + k \det \left( \begin{matrix} \bold{v} \\ \bold{w} \end{matrix} \right) \\ \det \left( \begin{matrix} \bold{w} \\ \bold{u} + k \bold{v} \end{matrix} \right) = \det \left( \begin{matrix} \bold{w} \\ \bold{u} \end{matrix} \right) + k \det \left( \begin{matrix} \bold{w} \\ \bold{v} \end{matrix} \right) $$

• 행렬 $\bold{A} \in M_{2 \times 2}(F)$에 대하여 $\bold{A}$의 행렬식이 0이 아니기 위한 필요충분조건은 $\bold{A}$가 가역행렬인 것이다. $\bold{A}$가 가역행렬이면 역행렬은 다음과 같다.

$$ \bold{A}^{-1} = {1 \over \det (\bold{A})} \left( \begin{matrix} A_{22} & -A_{12} \\ -A_{21} & A_{11} \end{matrix} \right) $$

n차 정사각 행렬의 행렬식

• 행렬 $\bold{A} \in M_{n \times n}(F)$에 대하여 $\det (\bold{A})$를 다음과 같이 귀납적으로 정의하자. (단 $n = 1$일 때 $\bold{A} = (A_{11})$)

$$ \det(\bold{A}) = \begin{cases} A_{11} & n = 1 \\ \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} A_{1j} \cdot \det(\tilde{A}_{1j}) & n \geq 2 \end{cases} $$

• 스칼라 $\det(\bold{A})$는 $\bold{A}$의 행렬식이라 하며, $|\bold{A}|$라 표기한다.
• 스칼라 $(-1)^{i+j} \det(\tilde{A}_{ij})$는 $\bold{A}$의 $i$행 $j$열 성분에 대한 여인수(cofactor)라 한다.
• $\bold{A}$의 $i$행 $j$열 성분에 대한 여인수를 $c_{ij} = (-1)^{i+j} \det(\tilde{A}_{ij})$로 표기하면 $\bold{A}$의 행렬식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ \det(\bold{A}) = A_{11} c_{11} + A_{12} c_{12} + ... + A_{1n} c_{1n} $$

• 즉 $\bold{A}$의 행렬식은 $\bold{A}$의 각 1행의 각 성분에 여인수를 곱하여 더한 것이다. 위 공식은 $\bold{A}$의 1행에 대한 여인수 전개(cofactor expansion)이라 한다.
• $n \times n$ 행렬의 행렬식은 나머지 행이 고정되어 있을 때, 행렬의 각 행에 대하여 선형함수이다. 즉 $1 \leq r \leq n$인 $r$에 대해 다음 식이 성립한다. 이때 $k$는 스칼라이고 $\bold{u, v}$와 각 $\bold{a}_i$는 행벡터($\in F^n$)이다.

$$ \det \left( \begin{matrix} \bold{a}{1} \\ \vdots \\ \bold{a}{r-1} \\ \bold{u} + k\bold{v} \\ \bold{a}{r+1} \\ \vdots \\ \bold{a}n \end{matrix} \right) = \det \left( \begin{matrix} \bold{a}{1} \\ \vdots \\ \bold{a}{r-1} \\ \bold{u} \\ \bold{a}{r+1} \\ \vdots \\ \bold{a}n \end{matrix} \right) +k \det \left( \begin{matrix} \bold{a}{1} \\ \vdots \\ \bold{a}{r-1} \\ \bold{v} \\ \bold{a}_{r+1} \\ \vdots \\ \bold{a}_n \end{matrix} \right) $$

• 행렬 $\bold{A} \in M_{n \times n}(F)$의 어느 행의 모든 성분이 0이면 $\det(\bold{A}) = 0$이다.
• $n \geq 2$인 행렬 $\bold{B} \in M_{n\times n}(F)$의 $i$행이 $\bold{e}k$($k$는 $1 \leq k \leq n$인 어떤 자연수)이면, $\det (\bold{B}) = (-1)^{i + k} \det (\tilde{B}{ik})$이다.