행렬의 극한

• 복소수 성분을 가지는 $n \times p$ 행렬 $\bold{L}, \bold{A}_1, \bold{A}_2,...$을 생각하자. 모든 $1 \leq i \leq n$와 $1 \leq j \leq p$에 대해 다음을 만족할 때 행렬열 $\bold{A}_1, \bold{A}_2,...$는 $n \times p$ 행렬 $\bold{L}$로 수렴(converge)한다고 하고, 이때 행렬 $\bold{L}$을 행렬열의 극한(limit)이라 한다.

$$ \lim_{m \to \infty} (A_{m}){ij} = L{ij} $$

• 행렬열의 극한을 $\bold{L}$로 표기하면 간단히 다음처럼 나타내기도 한다.

$$ \lim_{m \to \infty} \bold{A}_{m} = \bold{L} $$

• 복소수 성분을 가지는 $n \times p$ 행렬열 $\bold{A}1, \bold{A}2,...$ 이 행렬 $\bold{L}$ 로 수렴한다고 하자. 임의의 $\bold{P} \in M{r \times n}(C)$ 와 $\bold{Q} \in M{p \times s}(C)$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$ \lim_{m \to \infty} \bold{PA}m = \bold{PL} \\ \lim{m \to \infty} \bold{A}_m\bold{Q} = \bold{LQ} $$

• $\lim_{m \to \infty} \bold{A}^m = \bold{L}$인 행렬 $\bold{A} \in M_{n \times n}(C)$와 임의의 가역행렬 $\bold{Q} \in M_{n \times n}(C)$에 대해 다음이 성립한다.

$$ \lim_{m \to \infty} (\bold{QAQ}^{-1})^m = \bold{QLQ}^{-1} $$

• 기하학적으로 복소수 $1$과 단위원의 내부로 이루어진 집합 $S = \{ \lambda \in C : |\lambda| < 1 \vee \lambda = 1\}$와 복소수 성분을 가지는 정사각행렬 $\bold{A}$에 대해 $\lim_{m \to \infty}\bold{A}^m$이 존재하기 위한 필요충분조건은 다음 두 조건을 모두 만족하는 것이다.
  1. $\bold{A}$의 모든 고윳값은 $\bold{S}$의 원소이다.
  2. $1$이 $\bold{A}$의 고윳값이면 $1$에 대응하는 고유공간의 차원은 $\bold{A}$의 고윳값 $1$의 중복도와 같다.
• 위의 집합 $S$와 행렬 $\bold{A}$에 대해 다음 두 조건이 만족되면 $\lim_{m \to \infty}\bold{A}^m$이 존재한다.
  1. $\bold{A}$의 모든 고윳값은 $S$에 속한다.
  2. $\bold{A}$는 대각화 가능하다.

전이 행렬(transition matrix)

• 음이 아닌 성분을 가지고 각 열의 합이 1인 행렬을 확률 행렬(stochastic matrix) 또는 전이 행렬(transition matrix) 이라 한다.
  • 일반적으로 음이 아닌 성분을 가지고 열의 합이 1인 행렬은 right stochastic matrix라 하고, 행의 합이 1인 행렬은 left stochastic 행렬이라 한다. 벡터는 열벡터를 기본으로 사용하는게 관례이기 때문에 확률 행렬은 right stochastic matrix를 기본으로 생각한다.
• 열의 합이 1이 되기 때문에 확률 행렬의 열 벡터를 확률 벡터(probability vector)라 한다.
• 임의의 $n \times n$ 전이 행렬(transition matrix) $\bold{A}$에 대해 각 행과 열은 $n$ 가지 상태(state)에 대응한다. $\bold{A}_{ij}$ 성분은 한 단계에의해 상태 $j$에서 상태 $i$로 이동할 확률을 나타낸다.
• 음이 아닌 실수 성분을 가지는 $n \times n$ 행렬 $\bold{A}$와 음이 아닌 성분을 가지는 열벡터 $\bold{v} \in \mathbb{R}^n$, 각 성분이 $1$인 열벡터 $\bold{u} \in \mathbb{R}^n$에 대해 다음이 성립한다.
  1. $\bold{A}$이 확률행렬이기 위한 필요충분조건은 $\bold{u}^\top \bold{A} = \bold{u}^\top$이다.
  2. $\bold{v}$가 확률벡터이기 위한 필요충분조건은 $\bold{u}^\top\bold{v} = (1)$이다.
• 두 $n \times n$ 확률 행렬의 곱은 $n \times n$ 확률 행렬이다. 특히 확률 행렬의 거듭제곱은 확률 행렬이다.
• 확률 행렬과 확률 벡터의 곱은 확률 벡터이다.
• 성분이 모두 양수인 전이행렬 $\bold{A} \in M_{n \times n}(C)$의 $1$이 아닌 고윳값 $\lambda$에 대하여 $|\lambda|\le 1$이다. 고윳값 $1$에 대응하는 고유공간의 차원은 $1$이다.