미분(Differential)은 도함수(Derivative)를 구하는 과정을 의미한다. 여기서 도함수는 함수의 입력 값의 차이에 대한 출력 값의 차이의 민감도를 측정하는 방법으로 그 결과를 변화율이나 기울기로 이해할 수 있다.
도함수가 연속인 경우에만 존재하므로 미분은 연속인 경우에만 정의가 되며, 이산인 경우에는 차분(Difference)이라는 방법을 이용한다. 미분을 통해 구한 변화율을 적분하면 변화량이 되지만, 차분은 변화율을 구할 수 없는 대신 변화량을 직접 정의한다.
함수 $f$에 대한 미분 기호는 다음과 같다. 분자에는 미분할 대상, 분모에는 그 대상 안의 실제 미분할 매개변수라고 이해하면 쉽다.
$$ f' = {d \over dx}(f) = {d \over dx} f = {df \over dx} = {d \over dx}(y) = {d \over dx}y = {dy \over dx} $$
미분을 2번 하는 경우 다음과 같이 표시한다. 이것을 일반화 시키면 $n$번에 대해 표기 가능하다.
$$ f'' = {d^2 \over dx^2}(f) = {d^2 \over dx^2} f = {d^2 f \over dx^2} = {d^2 \over dx^2}(y) = {d^2 \over dx^2}y = {d^2 y \over dx^2} $$
일반적으로 미분을 나타내는 식 ${df \over dx}$에서 $dx$는 $x$로 함수 $f$를 미분한다는 표기일 뿐이지만, 경우에 따라 $dx$를 $x$에 대한 미소변화량을 나타내는 변수로 생각해도 타당하다. 이것은 다음이 성립한다는 뜻이다. 이 경우 함수 $f(x)$를 $x$에 대한 미소변화량 $dx$로 나눈다는 의미가 된다. 이는 점 $x$에서의 미분이 해당 점에서의 기울기를 의미한다는 점에서 타당하다.
$$ {df(x) \over dx} = g(x) \Rightarrow df(x) = g(x)dx $$
이것은 적분에 대해서도 비슷한 개념으로 적용할 수 있다. 다시 말해 아래의 적분은 구간 $[-\infty, \infty]$에 걸쳐 함수 $f(x)$에 $x$의 미소변화량 $dx$를 곱한 것을 모두 합한다는 의미로 생각할 수 있다. 이는 애초에 적분이 구간에 걸쳐 미소한 양으로 쪼갠 뒤 그것을 모두 합한다는 의미에서 볼 때 타당하다.
$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx $$
미분과 적분은 서로의 역연산임에 주의. 즉 미분 결과를 적분하면 원래의 형태(부정적분인 경우 $+ C$가 더해진)가 되고, 거꾸로 적분한 것을 다시 미분하면 원래의 형태가 된다.
도함수는 특정 점에서의 순간 변화율을 나타내며, 아래와 같이 2가지 형태로 정의 가능하다.
우선 $x$가 어떤 점 $a$에 가까워질 때 점 $a$에 대한 미분 계수는 아래와 같이 정의된다.
$$ f'(a) = \lim_{x\to a} {f(x)-f(a)\over x-a} $$
반면 점 $x$에서의 미분계수는 아래처럼 표현할 수 도 있다.
$$ f'(x) = \lim_{h\to0} {f(x+h)-f(x)\over h} $$
이 형태가 일반적으로 더 많이 사용된다. 구간을 $h$ 대신 $2h$나 ${1\over2}h$를 사용한다면 다음과 같이 나타낼 수 있다.