https://youtu.be/Fvy5oJvgM1g

집합

• 현대 수학은 공리 --약속된 명제-- 들로부터 논리를 쌓아가는 학문.
• 수학의 가장 기본이 되는 공리계인 ZFC가 10개의 집합에 대해 서술하고 있음.
• 대부분의 수학적 대상은 모두 집합으로 정의가 됨.
  • 사칙연산은 함수의 일종이고 함수는 집합으로 정의가 됨.

정의

다음 성질들을 만족시키는 원소 $x$들의 모임을 집합이라 한다. (아래는 소박한 정의, 현대적 정의는 공리계가 따로 있음)

1. 집합에 속하거나 속하지 않거나 둘 중 하나로써 명확하다.
2. 원소들끼리는 서로 다르다.
3. 원소들끼리는 순서에 따른 구분이 없으며, 연산이 주어지지 않는다.

• $x$가 집합 $X$의 원소이면 $x \in X$로 표현하고 원소가 아니면 $x \notin X$로 표현한다.
• 집합 $U$의 원소 중에서 명제 $P$를 만족시키는 원소로 이루어진 집합 $X$를 조건제시법으로 $X = \{ x \in U | P(x) \}$라 표현하며, 이때 $U$를 전체집합이라 한다.
• 공집합은 아무런 원소를 가지지 않는 집합이며, 기호로 $\emptyset$라 표현한다.

집합의 연산

합집합

집합 $I = \{ 1, 2, ... , n \}$에 대하여 집합들 $A_{i} (i \in I)$의 합집합은 (여기서 $i$는 첨수라 하고 그 첨수들 모은 집합인 $I$를 첨수족이라 한다)

$\cup_{i \in I} A_{i} = \{ x | \exists i \in I s.t. x \in A_{i} \}$

이고 특히 두 집합 $A$와 $B$의 합집합을

$A \cup B = \{ x | x \in A \vee x \in B \}$