https://youtu.be/0IkRpZSomd8

• (예제 생략)
  • $P_{n}(F)$이란 $n$차 이하 다항식들의 집합이라는 뜻
  • $P_{n}(F)$의 차원은 $n+1$이 된다.

Corollary 2. $dim(V) = n$

1. 벡터공간의 차원이 $n (dim(V) = n)$이라면 기저는 $n$개의 벡터를 가져야 한다.
2. 벡터공간 $V$의 부분집합이 선형독립이고 $n$개의 벡터를 가졌다면 기저이다.

Thm 1.11 Dimension of subspace

• $V$는 유한차원 벡터공간이고, $W$가 $V$의 부분공간이라면
  • $dim(V) < \infty, W < V$
    • $dim(W) \leq dim(V)$
    • $dim(W) = dim(V) \Rightarrow V = W$

2.1 Linear transform

• 정의) $F$를 체로 하는 벡터공간 $V, W$에 대하여
  • 함수 $T$를 $T: V \to W$라 하면 $V$를 정의역(domain) $W$를 공역(codomain)이 된다.
  • $T$가 $V$에서 $W$로 가는 선형변환이려면 다음이 성립해야 한다.
    • $\forall x, y \in V, c \in F$
    • $T(x + y) = T(x) + T(y)$
    • $T(cx) = cT(x)$

Properties of linear map

• $T(0) = 0$
  • (원점을 지나야 한다. 직선이라도 $T(0) = 0$이 안되면 non-linear 라고 한다. ex) 커브 등)
• $T(cx + y) = cT(x) + T(y) (\forall x, y \in V, c \in F)$
  • (더하기와 상수곱을 한 번에 적용해서 선형인지 아닌지를 한 번에 확인)
• $T(x - y) = T(x) - T(y)$
• $T(\sum_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}) = \sum_{i=1}^{n} a_{i}T(x_{i})$
• (예제 생략 - 일반 연산, 회전, 대칭, 투영, 미분, 정적분(부정적분은 상수가 튀어 나오기 때문에 선형이 아니다))의 변환에 대해서 선형임을 증명하는 예)
  • (변환 전에 더하기를 하나, 변환 후에 더하기를 하나 결과가 같다는 것을 보이면 선형이라는 것의 증명이 된다.)
  • (변환 전에 상수곱을 하나, 변환 후에 상수곱을 하나 결과가 같다는 것을 보이면 선형이라는 것의 증명이 된다.)