(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
개념
- 다변수 실함수의 리만적분
- $f(\vec{x})$가 유계인 영역 $\Omega(\leq \mathbb{R}^{n})$에서 리만적분 가능 $\Leftrightarrow \Omega$ 를 $P_{1}, P_{2}, ... , P_{n}$인 영역으로 분할한 뒤, 각각의 영역에서 점 $\vec{t}{1}, \vec{t}{2}, ... , \vec{t}{n}$ 을 뽑았을 때, $\sum{i=1}^{n} f(\vec{t}{i}) \cdot$ (영역 $P{i}$ 의 크기) 이 값이 분할 방법과 뽑는 방법에 상관없이 항상 같은 값으로 수렴한다.
- $\Omega$: 적분영역, 항상 같은 값으로 수렴하는 그 값을 $\int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} dx_{2} \land ... \land dx_{n}$ 라고 표기
- 다중적분의 성질
- $\Omega = \Omega_{1} \cup \Omega_{2} (\Omega_{1} \cap \Omega_{2} = \emptyset)$
- $\Rightarrow \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} = \int_{\Omega_{1}} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} + \int_{\Omega_{2}} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}$
- $\int_{\Omega} \alpha f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} = \alpha \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}$
- $\int_{\Omega} f(\vec{x}) + g(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} = \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} + \int_{\Omega} g(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}$
- $f(\vec{x}) \leq g(\vec{x}) (\vec{x} \in \Omega)$
- $\Rightarrow \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} \leq \int_{\Omega} g(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}$
- 푸비니 정리
- 영역 $\Omega(\leq \mathbb{R}^{n})$가 $x = a, x= b, y = g_{2}(x), y = g_{1}(x)$ 들로 둘러 쌓여 있을 경우
- $\int_{\Omega} f(x, y) dx \land dy = \int_{a}^{b} (\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)} f(x, y) dy) dx$
- 다변수 실함수 다중적분의 기하학적 의미
- $\Omega$가 $n$차원 영역일 때, $\int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}$의 의미는
- $\Omega$를 밑면으로 $f$를 높이로 하는 $n + 1$차원의 부피를 의미한다.