랭크(rank)

• 행렬 $\bold{A} \in M_{m \times n}(F)$에 대해 $\bold{A}$의 랭크(rank)는 선형변환 $L_\bold{A} : F^n \to F^m$의 랭크로 정의하고 $\text{rank}(\bold{A})$라 표기한다. —rank는 range의 차원을 뜻한다.
• $n \times n$ 행렬이 가역이기 위한 필요충분조건은 행렬의 랭크가 $n$인 것이다.
• 모든 행렬 $\bold{A}$는 적절한 표준 순서기저에 대한 선형변환 $L_\bold{A}$의 행렬표현이다. 즉 선형변환 $L_\bold{A}$의 랭크는 그 행렬표현 중 하나인 $\bold{A}$의 랭크와 같다.
• 유한차원 벡터공간사이에서 정의된 선형변환 $T : V \to W$와 $V, W$ 각각의 순서기저 $\beta, \gamma$에 대하여 $\text{rank}(T) = \text{rank}([T]_\beta^\gamma)$이다.
• $m \times n$ 행렬 $\bold{A}$, $m \times m$ 가역행렬 $\bold{P}$, $n \times n$ 가역행렬 $\bold{Q}$에 대해 다음이 성립한다.
  1. $\text{rank}(\bold{AQ}) = \text{rank}(\bold{A})$
  2. $\text{rank}(\bold{PA}) = \text{rank}(\bold{A})$
  3. $\text{rank}(\bold{PAQ}) = \text{rank}(\bold{A})$
• 행렬의 기본행연산과 기본열연산은 랭크를 보존한다.
• 임의의 행렬의 랭크는 선형독립인 열의 최대 개수와 같다. 행렬의 랭크는 그 열에 의해 생성된 부분공간의 차원이다.
  • 이것은 열이 아니라 행으로 바꾸어도 동일하고, 결과적으로 행렬에서 선형독립인 행과 열은 개수가 같다는 논리로 이어진다. 이것은 행렬의 행 공간(row space)과 열 공간(column space)의 차원이 동일하기 때문이다.
  • 행렬 $\bold{A}$의 랭크를 구할 때 $\bold{A}$에 적절한 기본행 연산과 기본열 연산을 적용하여 선형독립인 열의 개수를 확실히 구할 수 있도록 만든 뒤 이 정리를 사용하는 경우가 많다.
• 랭크가 $r$인 $m \times n$ 행렬 $\bold{A}$가 있을 때, $r \leq m, r \leq n$이 성립하고 기본행 연산과 기본열 연산을 유한번 사용하여 $\bold{A}$를 다음과 같은 꼴로 바꿀 수 있다.

$$ \bold{D} = \left( \begin{matrix} \bold{I}_r & \bold{0}_1 \\ \bold{0}_2 & \bold{0}_3 \end{matrix} \right) $$

• 이때 $i \leq r$이면 $\bold{D}{ii}= 1$이고 그렇지 않으면 $D{ij} = 0$이고 $\bold{0}_1, \bold{0}_2, \bold{0}_3$은 영행렬이다.
• 랭크가 $r$인 $m \times n$ 행렬 $\bold{A}$에 대해 다음을 만족하는 $m \times m$ 가역행렬 $\bold{B}$와 $n \times n$ 가역행렬 $\bold{A}$가 존재한다.

$$ \bold{D} = \left( \begin{matrix} \bold{I}_r & \bold{0}_1 \\ \bold{0}_2 & \bold{0}_3 \end{matrix} \right) = \bold{BAC} $$

• $m \times n$ 행렬 $\bold{A}$에 대해 다음이 성립한다.
  1. $\text{rank}(\bold{A}^\top) = \text{rank}(\bold{A})$
  2. 임의의 행렬의 랭크는 선형독립인 행의 최대 개수와 같다. 행렬의 랭크는 그 행에 의해 생성된 부분공간의 차원이다.
  3. 임의의 행렬의 행과 열은 차원이 같은 부분공간을 생성한다. 차우너은 행렬의 랭크와 같다.
• 모든 가역행렬은 기본행렬의 곱으로 나타난다.
• 유한차원 벡터공간 $V, W, Z$ 사이에 정의된 선형변환 $T : V \to W, U : W \to Z$와 행렬 곱 $\bold{AB}$를 정의하는 두 행렬 $\bold{A}, \bold{B}$에 대해 다음이 성립한다.
  1. $\text{rank}(UT) \leq \text{rank}(U)$
  2. $\text{rank}(UT) \leq \text{rank}(T)$
  3. $\text{rank}(\bold{AB}) \leq \text{rank}(\bold{A})$
  4. $\text{rank}(\bold{AB}) \leq \text{rank}(\bold{B})$
• 행렬의 열벡터 중 서로 독립인 열벡터의 최대 개수를 열랭크(column rank)라 하고, 비슷하게 행벡터 중 독립인 행벡터의 최대 개수를 행랭크(row rank)라고 한다. 행랭크와 열랭크에 대해서는 다음이 성립한다.

$$ \text{column rank}(\bold{A}) = \text{row rank}(\bold{A}) $$

• 행 랭크는 행 개수보다 커질 수 없고, 열랭크는 열 개수보다 커질 수 없기 때문에 행 개수가 $m$, 열 개수가 $n$인 행렬의 랭크는 행과 열 중 작은 값보다 커질 수 없다.