전치 행렬(Transpose Matrix)
- $m \times n$ 행렬 $\bold{A}$에 대하여 $\bold{A}$의 행과 열을 바꾸어 얻은 $n \times m$ 행렬을 $\bold{A}$의 전치 행렬이라고 하고 $\bold{A}^\top$로 표시한다.
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\bold{A}{ij} = (\bold{A}^\top){ji}
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- 행렬의 곱에 전치를 하면 그 순서가 뒤집힌다.
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\begin{aligned} (AB)^\top &= B^\top A^\top \\ (ABC)^\top &= C^\top B^\top A^\top \\ (ABCD)^\top &= D^\top C^\top B^\top A^\top \end{aligned}
$$
역 행렬(Inverse Matrix)
- 행렬의 역은 원래 행렬과 곱해서 항등 행렬을 만들 수 있는 행렬로 정의한다.
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\bold{A}^{-1}\bold{A} = \bold{AA}^{-1} = \bold{I}
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- 역행렬이 존재할 수 있는 조건은 다음과 같다.
- 정사각행렬이어야 함. $\bold{A} \in M_{n \times n}$
- 정사각행렬이 아니면 행렬식이 존재할 수 없다.
- 행렬식이 0이 아니어야 함. $\det(\bold{A}) \neq 0$
- 행렬이 풀랭크여야 함. $\bold{A} \in M_{n \times n}(F)$일 때 $\text{rank}(\bold{A}) = n$
- 모든 열이 독립이거나, 모든 행이 독립
- 정사각일 때, 모든 열이 독립이면, 모든 행이 독립이 되고, 모든 행이 독립이면 모든 열이 독립하게 됨.
- 정사각이 아니면 모든 열이 독립이거나 모든 행이 독립일 수는 있어도 그 둘이 동시에는 불가능함
- 직교는 독립보다 더 강한 조건이기 때문에 직교하면 독립이다. 반대로 독립이라고 직교는 당연히 아님.
- 정사각행렬에서 2와 3은 사실 동치이다. 정사각행렬에서 행렬식이 0이 아니면 풀랭크고, 정사각행렬이 풀랭크면 행렬식이 0이 아니다.
- $\bold{A,B} \in \mathbb{R}^{n \times n}$이고 특이가 아닐 때 역행렬은 다음의 속성을 갖는다.
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\begin{aligned} (\bold{A}^{-1})^{-1} &= \bold{A} \\ (\bold{AB})^{-1} &= \bold{B}^{-1}\bold{A}^{-1} \\ (\bold{A}^{-1})^\top &= (\bold{A}^\top)^{-1} \triangleq \bold{A}^{-\top} \end{aligned}
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- 위의 2번째 속성은 행렬이 여러 개일 때 다음처럼 확장된다.
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(\bold{ABCD})^{-1} = \bold{D}^{-1}\bold{C}^{-1}\bold{B}^{-1}\bold{A}^{-1}
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- block 대각 행렬에 대해 역은 단순히 각 블록의 역을 분리하여 얻는다.
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\left(\begin{matrix} \bold{A} & \bold{0} \\ \bold{0} & \bold{A} \end{matrix}\right)^{-1} = \left(\begin{matrix} \bold{A}^{-1} & \bold{0} \\ \bold{0} & \bold{B}^{-1} \end{matrix}\right)
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직교(Orthogonal) 행렬
- 정사각 행렬 $\bold{A} \in M_{n \times n}(F)$의 모든 열벡터가 정규직교(orthognormal)인 경우—orthogonal이 아니므로 주의— 직교 행렬(orthogonal matrix)이라 한다.
- 정사각 행렬의 모든 열벡터가 단위 벡터이면서 직교하면, 동시에 모든 행벡터 또한 단위벡터이면서 직교하게 된다.
- 정사각이 아니면 모든 열이나 모든 행이 직교할 수는 있어도 그 둘이 동시에 직교하지는 못한다.
- 벡터에서와 달리 행렬에 대해서는 정규직교(orthonormal)을 정의하지 않는다.
- 복소수 행렬에서는 유니터리 행렬(unitary matrix)라고 한다.
- 직교 행렬 $\bold{A}$는 자신의 전치 행렬 $\bold{A}^\top$과 곱할 때 항등 행렬 $\bold{I}$이 된다. 다음이 성립한다.
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\bold{A}^\top\bold{A} = \bold{AA}^\top = \bold{I}
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