Norm

벡터의 노름에 대해 다음과 같은 종류의 노름이 정의된다.
p-norm
- $\|\bold{x}\|p = (\sum{i=1}^{n} |x_i|^p)^{1/p}$, $p \geq 1$에 대해
2-norm
- $\|\bold{x}\|2 = \sqrt{\sum{i=1}^{n} x_i^2}$, 유클리드 노름이라고도 한다. $\|\bold{x}\|_2^2 = \bold{x}^\top \bold{x}$에 유의
1-norm
- $\|\bold{x}\|1 = \sum{i=1}^{n} |x_i|$
Max-norm
- $\|\bold{x}\|_\infty = \max_i |x_i|$
0-norm
- $\|\bold{x}\|0 = \sum{i=1}^{n} \mathbb{I}(|x_i| > 0)$
- 이것은 homogeneity를 만족하지 않기 때문에 pseudo 노름이라고도 한다. 이것은 $\bold{x}$의 0이 아닌 요소의 갯수를 센다.
- $0^0 = 0$이라고 정의하면 이것을 $\|\bold{x}\|0 = \sum{i=1}^{n} x_i^0$라고 쓸 수 있다.
$\|\bold{x}\| = 1$인 벡터 $\bold{x} \in V$를 단위벡터(unit vector)라고 한다.
0이 아닌 임의의 벡터 $\bold{x}$에 대해 ${\bold{x} \over \|\bold{x}\|}$는 단위벡터가 되는데, 영이 아닌 벡터에 길이의 역수만큼의 스칼라를 곱하는 과정을 정규화(normalizing)이라 한다.

직교(orthogonal), 정규직교(orthonormal)

내적공간 $V$의 벡터 $\bold{x,y}$가 $\langle \bold{x,y} \rangle = 0$이면 두 벡터는 직교(orthogonal)한다고 한다.
$V$의 부분집합 $S$에 대하여 $S$에 속하는 서로 다른 임의의 두 벡터가 직교할 때, 집합 $S$를 직교(orthogonal) 집합이라고 한다.
$V$의 부분집합 $S$가 직교집합이고 단위벡터로만 이루어져 있을 때, 집합 $S$를 정규직교(orthonormal) 집합이라고 한다.
집합 $S = \{ \bold{v}_1, \bold{v}_2, ... \}$가 정규직교집합이기 위한 필요충분조건은 $\langle \bold{v}i, \bold{v}j \rangle = \delta{ij}$이다. 여기서 $\delta{ij}$는 크로네커 델타(Kronecker delta)이다.