적률(Moments)
- 적률은 수학에서 함수의 모양을 표현하는 척도로 다음과 같이 정의 됨. 이 개념이 물리학이나 통계에서도 사용 됨.
- 통계의 경우 평균, 분산, 왜도, 첨도 등이 적률이나 아래의 중심 적률, 표준화 적률 등을 이용해서 유도된다.
$$
\mu_n \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} (x-c)^n f(x) dx
$$
- 통계와 물리학에서 쓰이는 moment는 미묘하게 다르긴 하지만 기본적으로 물체나 분포에 대한 특성을 나타내는 값이라고 볼 수 있음.
- 1차 모멘트는 정적 모멘트 또는 중심이라고 하며 물체의 질량 중심을 나타내는데, 때문에 통계에서는 평균에 대응됨.
- 2차 모멘트는 관성 모멘트 또는 회전 관성이라고 하며, 물체가 회전에 얼마나 저항하는지를 나타냄. 이것은 회전축에 대한 물체의 분포를 나타내기 때문에 통계에서는 분산에 대응됨.
- 3차 모멘트는 기울어진 모멘트, 비대칭성이라고 하며 물체의 모양이 얼마나 비대칭적인지를 나타냄. 때문에 통계에서는 왜도(skewness)에 대응됨.
통계에서의 적률
- 통계에서는 적률은 위 식에 $c = 0$을 대입하여 정의한다. 그리고 이것을 $\mu'$을 써서 표기한다.
$$
\mu_n' \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} x^n f(x) dx
$$
중심 적률
- 통계에서 중심 적률은 수학의 적률과 유사한데, $c = \mu$를 써서 표기한다. $\mu$는 평균값.
$$
\mu_n \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^n f(x) dx
$$
표준화 적률
- 통계에서 표준화 적률은 다음과 같이 정의된다. $\mu$는 평균이고 $\sigma$는 표준편차. 표준화 적률은 $\tilde{\mu}$로 표기한다.
$$
\tilde{\mu}_n \triangleq {\mu_n \over \sigma^n}
$$
적률 생성 함수
- 적률 생성 함수(Moment Generating Function, MGF)는 말 그대로 적률을 생성하는 함수이다. 적률 생성 함수는 다음과 같이 정의 된다.
$$
M_X(t) \triangleq \mathbb{E}[e^{tX}]
$$
- 위 식의 $e^{tX}$를 테일러 전개한 후, 1번 미분하면 1차 적률 $E[X]$이 만들어지고, 2번 미분하면 2차 적률 $E[X^2]$이 만들어지고, $n$번 미분하면 $n$차 적률 $E[X^n]$이 만들어진다.
분포의 적률
기댓값(expected value), 평균(mean)