선형 변환(Linear Transformation)

• $V$와 $W$가 모두 $F$-벡터공간이라고 하자. 모든 $\bold{x, y} \in V, c \in F$에 대해 다음을 만족하는 함수 $T : V \to W$를 $V$에서 $W$로 가는 선형변환(linear transformation)이라고 한다.
  1. $T(\bold{x}+ \bold{y}) = T(\bold{x}) + T(\bold{y})$
  2. $T(c\bold{x}) = cT(\bold{x})$
• 벡터 합과 스칼라 곱의 결과가 변환 전과 변환 후에 동일하다면 선형이라고 한다.
• $T$가 선형이면 $\bold{x, y} \in V, c \in F$에 대해 다음을 만족한다.
  1. $T(\bold{0}) = \bold{0}$이다.
  2. $T(c\bold{x}+ \bold{y}) = cT(\bold{x}) + T(\bold{y})$
  3. $T(\bold{x} - \bold{y}) = T(\bold{x}) - T(\bold{y})$
  4. $T(\sum_{i=1}^{n} a_i \bold{x}i) = \sum{i=1}^{n} a_i T(\bold{x}_i)$
• $F$-벡터공간에 $V, W$에 대해
  • 모든 $\bold{x} \in V$에 대해 $I_V(\bold{x}) = \bold{x}$이면 항등변환(identity transformation) $I_V : V \to V$이라 한다.
  • 모든 $\bold{x} \in V$에 대해 $T_0(x) = \bold{0}$이면 영변환(zero transformation) $T_0 : V \to W$이라 한다.
• $V, W$는 통상적인 체에서의 벡터공간이고, $\beta$는 $V$의 기저라 하자.
  • 임의의 함수 $f : \beta \to W$에 대하여 $T(\bold{x}) = f(\bold{x})$ (단 $\bold{x}$는 $\beta$의 임의의 벡터)인 선형변환 $T : V \to W$가 유일하게 존재한다.
• 두 벡터공간 $V, W$에서 정의된 함수 $T : V \to W$는 모든 $\bold{x,y} \in V$에 대하여 다음이 성립할 때 가법적(additive)라 한다.
  • 가법적이지만 선형이 아닌 함수가 존재할 수 있다.

$$ T(\bold{x} + \bold{y}) = T(\bold{x}) + T(\bold{y}) $$

• 선형 변환은 그냥 함수라고 생각하면 간편하다. $V$라는 벡터 집합을 $W$라는 벡터 집합을 대응시키는 함수이고 그 대응에 대해 $T(\bold{x}) + T(\bold{y}) = T(\bold{x + y})$와 $cT(\bold{x}) = T(c\bold{x})$가 만족되면 이 함수를 선형 함수라고 할 수 있는 것.
  • 선형으로 사상하는 함수라고 생각하면 공역의 0에 사상하는 정의역의 집합을 널 집합(공간), 정의역의 모든 원소에 대응되는 공역의 집합을 range 집합(공간)(치역)으로 이해할 수 있다.
• 참고로 벡터 공간 $V$를 다른 벡터 공간 $W$로 매핑하는 선형 변환에 대비하여 벡터 공간 $V$를 체 $F$의 스칼라로 매핑하는 함수들을 선형 범함수(linear functctional)이라고 하고 이 선형 범함수들의 집합을 쌍대 공간(dual space)라고 한다.

널 공간(null space), 상 공간(range space)

• 벡터공간 $V, W$와 선형변환 $T: V \to W$에 대해
• 널 공간(null space, 영 공간이라고도 함) 또는 kernel은 $T(\bold{x}) = \bold{0}$인 $\bold{x} \in V$를 원소로 가지는 집합이고, $N(T)$라 표기한다.
  • 집합으로 나타내면 $N(T) = \{ \bold{x} \in V: T(\bold{x}) = \bold{0} \}$이다.
  • 다시 말해 선형 변환 하면 영벡터가 되는 벡터 $\bold{x} \in V$들의 집합이다.
  • 당연한 말이지만 $N(T)$는 $V$의 부분공간이다.
• 상 공간(range) 또는 image는 $T$의 함숫값을 원소로 가지는 $W$의 부분집합이고 $R(T)$라 표기한다.
  • 집합으로 나타내면 $R(T) = \{ T(\bold{x}) : \bold{x} \in V \}$이다.
  • 다시 말해 $W$의 벡터 중에 $V$에 대응되는 벡터가 존재하는 벡터 $T(\bold{x}) \in W$들의 집합이다.
  • 당연한 말이지만 $R(T)$는 $W$의 부분공간이다.
• 벡터공간 $V, W$와 항등변환 $I : V \to V$, 영변환 $T_0 : V \to W$에 대해 다음이 성립한다.
  1. $N(I) = \{ \bold{0}\}$
     • 자기 자신으로 가는 변환의 널공간에 속하는 것은 영벡터 뿐이다.
  2. $R(I) = V$
     • 자기 자신으로 가는 변환의 상공간에 속하는 것은 $V$ 전체이다.
  3. $N(T_0) = V$
     • 0으로 가는 변환의 널공간에 속하는 것은 $V$ 전체이다.
  4. $R(T_0) = \{ \bold{0}\}$
     • 0으로 가는 변환의 상공간에 속하는 것은 영벡터 뿐이다.
• 벡터공간 $V, W$와 선형 변환 $T : V \to W$, 기저 $\beta = \{ \bold{v}_1, \bold{v}_2,...,\bold{v}_n\}$에 대해 다음이 성립한다.
  • 선형변환의 range은 기저의 선형 변환을 span 한 것과 같다.

$$ R(T) = \text{span}(T(\beta)) = \text{span}(\{T(\bold{v}_1), T(\bold{v}_2), ..., T(\bold{v}_n) \}) $$

Nullity, Rank

• 벡터공간 $V, W$와 선형 변환 $T : V \to W$에 대하여 $N(T)$와 $R(T)$가 유한차원이라 가정하자.
  • $N(T)$의 차원을 nullity라 하고 $\text{nullity}(T)$라 표기한다.
  • $R(T)$의 차원을 rank라 하고 $\text{rank}(T)$라 표기한다.
  • 차원은 기저의 수를 의미하므로 null space의 기저의 수가 nullity(T), range space의 기저의 수가 rank(T)가 된다.