https://youtu.be/O2p_5zxthpI

Corollary

• $n$개의 차원을 가진 선형변환 $T : V \to V$에 대하여
  • 만일 $T$가 $n$개의 distinct eigenvalue를 갖고 있다면, $T$ 는 대각화가능하다.
  • eigenvector를 볼 필요도 없다.
• Ex 1)
  • $A = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right]$
  • $det(A - tI) = det \left[ \begin{array}{rr} 1 - t & 1 \\ 1 & 1 - t \end{array} \right] = t(t-2)$
  • $t(t-2)$는 $A$ 의 특성다항식이므로 eigenvalue는 $0, 1$이 된다.
  • $A$는 $2 \times 2$ 행렬이었기 때문에, $A$ 는 대각화 가능하다.

Thm 5.5의 역은 성립하지 않는다.

• $T$가 대각화 가능하다 $\nRightarrow n$개의 distinct eigenvalues
• Ex)
  • $A = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]$
  • 이때 $A$의 eigenvalue는 1개 뿐이다.
    • $Ax = \lambda x$
  • 하지만 $A$는 항상 대각화가능하다.

Split

• Split이란 주어진 다항식을 1차 다항식으로 쪼개는 것을 말한다.
• $t^{2} -1 = (t+1)(t-1)$이 되므로 $t^{2} - 1$는 $R$에서 split 가능하다.
• $(t^{2}+1)(t-2)$는 $R$에서 split 가능하지 않지만 $C$에서는 split 가능하다.
  • $(t - i)(t+i)(t-2)$
• $n$개의 distinct eigenvalue가 있으면 대각화 가능하고 $f(t)$는 $R$에서 split 가능하다.
  • 하지만 일반적으로 역은 성립하지 않는다.
• 결국 특성다항식에 중근이 생길 때는 대각화 가능 한지 판단이 어렵다. 즉 중근이 있을 때 대각화가능한지 판별하려면 eigenvector를 모두 구해보는 방법 밖에 없다.

(Ex 2. 생략 - 행렬이 대각화 가능한지 판별하는 문제 - 교재로 대체)

• 중근이 되는 eigenvalue의 경우에 몇 개의 eigenvector를 구할 수 있는가?
  • Algebraic multiplicity(대수적 중복도) 만큼의 eigenvector만 나오면 대각화 가능

Def

• 선형변환 $T : V \to V$에 대하여
  • $\lambda$가 $T$의 eigenvalue일 때
  • Eigenspace는 $\lambda$에 상응한다.
    • $E_{\lambda} = \{ x \in V | T(x) = \lambda x \} = N(T - \lambda I)$
    • $E_{\lambda}$는 Eigenspace를 의미한다
    • Eigenspace는 $T(x) = \lambda x$가 되는 $x$를 모아 놓은 집합
    • $T - \lambda I$의 널공간이 Eigenspace가 된다.
    • Eigenvector는 결국 Eigenspace의 기저이다.

Thm 5.7

• 선형변환 $T : V \to V$에 대하여
  • $\lambda$가 대수적 중복도 $m$을 갖는 선형변환 $T$의 eigenvalue일 때
    • $1 \leq \dim(E_{\lambda}) \leq m$
    • Eigenspace의 차원(=Eigenvector의 개수)은 $1$과 $m$ 사이에 존재한다.
    • 이때 $dim(E_{\lambda})$는 $\lambda$의 geometric multiplicity(기하적 중복도)라고 한다
    • geometric multiplicity가 algebraic multiplicity와 같으면 행렬은 대각화 가능하다. geometric multiplicity가 algebraic multiplicity보다 작으면 대각화 불가능

(algebraic multiplicity와 geometric multiplicity를 이용해서 행렬의 대각화 가능 판별 여부 구하는 예제 생략 - 교재 참조)