https://youtu.be/qfH8LzpmLQ0

(대각화 가능 판별 예제 생략 - 교재 참조)

(행렬의 n승을 구하는 예제 생략 - eigenvalue, eigenvector를 이용해서 대각화하면 계산 된다)

System of differential equations

• 주어진 연립 미분 방정식이 다음과 같을 때, 해를 구하는 방법
  • $x'{1}(t) = 3x{1}(t) + x_{2}(t) + x_{3}(t)$
  • $x'{2}(t) = 2x{1}(t) + 4x_{2}(t) + 2x_{3}(t)$
  • $x'{3}(t) = -x{1}(t) - x_{2}(t) + x_{3}(t)$
  • $x = \left[ \begin{array}{rrr} x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \\ x_{3}(t) \end{array} \right]$
  • $x' = \left[ \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{array} \right] x = Ax$
  • $A = QDQ^{-1}$
    • $AQ = QD$에서 파생 $D$는 Diagonal matrix
  • $x' = QDQ^{-1}x$
  • $Q^{-1}x' = DQ^{-1}x$
  • $y' = Dy$
    • $Q^{-1}x = y$로 치환
  • $Q = \left[ \begin{array}{rrr} -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right]$
  • $D = \left[ \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right]$
  • $\left[ \begin{array}{rrr} y'{1}(t) \\ y'{2}(t) \\ y'{3}(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} y{1}(t) \\ y_{2}(t) \\ y_{3}(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 2y_{1}(t) \\ 2y_{2}(t) \\ 4y_{3}(t) \end{array} \right]$
• 각 함수는 독립적 (system is decoupled)
  • $y_{1}(t) = c_{1} e^{2t}$
  • $y_{2}(t) = c_{2} e^{2t}$
  • $y_{3}(t) = c_{3} e^{4t}$
  • $x = Qy$ 했던 것을 되돌려준다.
  • $\left[ \begin{array}{rrr} x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \\ x_{3}(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} c_{1}e^{2t} \\ c_{2}e^{2t} \\ c_{3}e^{4t} \end{array} \right]$
• eigenvalue, eigenvector를 이용해서 system을 decoupling 시킨 후에 decoupling된 1차 미분 방정식을 풀고 다시 coupling된 상태로 만들어주면 된다. 이렇게 연립 미분 방정식을 풀 수 있다.

Thm 5.23 Cayley-Hamilton theorem

• 선형변환 $T : V \to V$에 대하여
  • $f(t)$가 $T$ 의 특성 방정식이고
  • $= det([T]_{\beta} - tI)$일 때
  • $f(T) = T_{0}$
• Ex 7)
  • $T : R^{2} \to R^{2}$
    • $(a, b) \mapsto (a + 2b, -2a +b)$
  • $\beta = \{ (1, 0), (0, 1) \}$
  • $T(1, 0) = (1, -2)$
  • $T(0, 1) = (-2, 1)$
  • $A = [T]_{\beta} = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{array} \right]$
  • $T$의 특성 방정식은
    • $f(t) = det([T]_{\beta} - tI) = det \left[ \begin{array}{rr} 1 - t & 2 \\ -2 & 1 - t \end{array} \right] = t^{2} - 2t + 5$
  • Cayley-Hamilton 정리에 의해
    • $A^{2} - 2A + 5I = 0$
• $A = \left[ \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right]$에 대해
  • $A$의 특성 방정식은
    • $det(A - tI) = \left[ \begin{array}{rr} a - t & b \\ c & d - t \end{array} \right]$
    • $t^{2} - (a + d)t + ad - bc$
    • $A^{2} - (a + d)A + (ad - bc)I = 0$

Inner product space

Inner product and norm

• Ex 1)
  • $x = (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}) \in F^{n}$
  • $y = (b_{1}, b_{2}, ... , b_{n}) \in F^{n}$
  • $<x, y> = \sum_{i=1}^{n} a_{i} \bar{b}_{i}$
  • $z = (c_{1}, c_{2}, ... , c_{n}) \in F^{n}$
  • $<x + z, y> = \sum_{i=1}^{n}(a_{i} + c_{i})\bar{b}{i} = \sum{i=1}^{n} a_{i} \bar{b}{i} + \sum{i=1}^{n} c_{i} \bar{b}_{i} = <x, y> + <z, y>$