가역성(invertible)

• 벡터공간 $V, W$와 선형변환 $T : V \to W$을 생각하자. $TU = \bold{I}_W$이고 $UT = \bold{I}_V$인 함수 $U$를 $T$의 역함수(inverse)라 한다. 역함수가 존재하는 $T$를 가역(invertible)이라 하며, 이 역함수를 $T^{-1}$라 표기한다. $T$가 가역이면 $T$의 역함수는 유일하다.
• 가역인 함수 $V, W$에 대하여 다음이 성립한다. 함수가 가역이기 위한 필요충분조건은 단사이고 전사이다.
  1. $(TU)^{-1} = U^{-1}T^{-1}$
  2. $(T^{-1})^{-1} = T$
  3. $V, W$가 차원이 같은 벡터공간이라 하자. 선형변환 $T : V \to W$가 가역이기 위한 필요충분조건은 $\text{rank}(T) = \dim(V)$이다.
• 벡터공간 $V, W$와 가역인 선형변환 $T : V \to W$에 대해 역함수 $T^{-1} : W \to V$ 또한 선형이다.
• 선형변환 $T : V \to W$가 가역이라 하자. $V$가 유한차원이기 위한 필요충분조건은 $W$가 유한차원인 것이다. 이때 $\dim(V) = \dim(W)$이다.
• $n \times n$ 행렬 $\bold{A}$에 대해 $\bold{AB} = \bold{BA} = \bold{I}$인 $n \times n$ 행렬 $\bold{B}$가 존재할 때, $\bold{A}$는 가역(invertible)이라 한다.
  • 이때 행렬 $\bold{B}$는 유일하고, $\bold{B}$를 $\bold{A}$의 역행렬(inverse)이라 하고 $\bold{A}^{-1}$라 표기한다.
• 유한차원 벡터공간 $V, W$와 각각의 순서기저 $\beta, \gamma$, 선형변환 $T : V \to W$에 대해 $T$가 가역이기 위한 필요충분조건은 $[T]\beta^\gamma$가 가역인 것이다. 특히 $[T^{-1}]\gamma^\beta = ([T]_\beta^\gamma)^{-1}$이다.
• 순서기저 $\beta$를 가지는 유한차원 벡터공간 $V$와 선형변환 $T : V \to V$에 대해 $T$가 가역이기 위한 필요충분조건은 $[T]\beta$가 가역인 것이다. 특히 $[T^{-1}]\beta = ([T]_\beta)^{-1}$이 성립한다.
• $n \times n$ 행렬 $\bold{A}$에 대해 $\bold{A}$가 가역이기 위한 필요충분조건은 $L_{\bold{A}}$가 가역인 것이다. 특히 $(L_\bold{A})^{-1} = L_{\bold{A}^{-1}}$이다.
• $\bold{A, B}$가 $M_{n \times n}(F)$의 행렬이라 하자. $\bold{B} = \bold{Q}^{-1}\bold{AQ}$인 가역행렬 $\bold{Q}$가 존재하면 $\bold{B}$는 $\bold{A}$와 서로 닮음(similar)이다.
  • 이것을 similar matrix라고 한다.
• $T$가 유한차원 벡터공간 $V$의 선형연산자이고 $\beta$와 $\beta'$이 $V$의 순서기저일 때, $[T]{\beta'}$와 $[T]\beta$는 서로 닮음이다.

동형사상(isomorphism)

• 어떤 벡터공간은 벡터의 모양이 구체적으로 다르다는 점만 제외하면 서로 매우 닮아 있다. $M_{2\times 2}(F)$와 $F^4$에 각각 집합 $\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right)$와 4 순서쌍 $(a, b, c, d)$를 대응하면 벡터의 합과 스칼라 곱이 비슷한 방식으로 작동한다. 두 벡터공간은 구조적으로 동형(isomorphic)이다.
• 두 벡터공간 $V, W$ 사이에 가역인 선형변환 $T : V \to W$가 존재하면 $V$는 $W$와 동형(isomorphic)이다. 이때 가역인 선형변환을 $V$에서 $W$로 가는 동형사상(isomorphism)이라 한다.
• 같은 체 위에서 정의된 유한차원 벡터공간 $V, W$에 대하여 $V$가 $W$와 동형이기 위한 필요충분조건은 $\dim(V) = \dim(W)$이다.
• $F$-벡터공간 $V$에 대해 $V$가 $F^n$와 동형이기 위한 필요충분조건은 $\dim(V) = n$이다.
• 차원이 각각 $n$과 $m$인 $F$-벡터공간 $V, W$를 생각하자. $V$와 $W$의 순서기저를 각각 $\beta, \gamma$라 할 때, 다음과 같이 정의한 함수 $\Phi_\beta^\gamma : \mathcal{L}(V, W) \to M_{m \times n}(F)$는 동형사상이다.

$$ T \in \mathcal{L}(V, W) \text{에 대하여 } \Phi_\beta^\gamma(T) = [T]_\beta^\gamma $$

• 차원이 각각 $n, m$인 유한차원 벡터공간 $V, W$에 대하여 $\mathcal{L}(V, W)$는 차원이 $nm$인 벡터공간이다.