(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
개념
- $N_{\delta}(\vec{p}) := { \vec{x} | \|\vec{x} - \vec{p} \| < \delta }$
- $f(\vec{p})$: 극대값 $\Leftrightarrow \exists \delta, \forall \vec{x} \in N_{\delta}(\vec{p}), f(\vec{p}) \geq f(\vec{x})$
- $f(\vec{p})$: 극소값 $\Leftrightarrow \exists \delta, \forall \vec{x} \in N_{\delta}(\vec{p}), f(\vec{p}) \leq f(\vec{x})$
- $\Omega(\subseteq \mathbb{R}^{n})$ : 유계, 닫힌집합, $f : \Omega \to \mathbb{R}$ 연속 $\Rightarrow f$는 최대값, 최소값을 가진다.
- 유계는 범위가 무한하지 않다는 뜻.
- 닫힌 집합이라는 것은 범위 경계도 포함한다는 뜻.
- $f(x, y)$ 가 $(p, q)$에서 2번 미분가능하고 $\nabla f |_{(p, q)} = \vec{0}$ 일 때,
- $Let. A = {\partial^{2} f \over \partial x^{2}} |{(p, q)} \cdot {\partial^{2} f \over \partial y^{2}} |{(p, q)} - ({\partial^{2} f \over \partial x \partial y} |_{(p, q)})^{2}$
- $A > 0$
- ${\partial^{2} f \over \partial x^{2}} |{(p, q)} < 0 \vee {\partial^{2} f \over \partial y^{2}} |{(p, q)} < 0 \Rightarrow f(p, q)$: 극대
- ${\partial^{2} f \over \partial x^{2}} |{(p, q)} > 0 \vee {\partial^{2} f \over \partial y^{2}} |{(p, q)} > 0 \Rightarrow f(p, q)$ : 극소
- $A < 0$
- $f(p, q)$ : 안장점
- 안장점이란 극대이면서 동시에 극소인 점. 어떤 방향에서 보면 극대이고 어떤 방향에서 보면 극소가 된다.
- $f(\vec{x}), g(\vec{x}) : \vec{p}$에서 미분가능, $f(\vec{p})$ 극값, $g(\vec{p}) = 0$
- $\Leftrightarrow \exists \lambda, \nabla f |{\vec{p}} = \lambda \nabla g |{\vec{p}}$