대수 구조
- 집합(set)
- 반 군(semi group)
- 집합과 그 위의 결합법칙을 따르는 하나의 이항 연산을 갖춘 대수구조
- 모노이드(monoid)
- 군(group)
- 아벨군(abelian group) (가환군)
- 교환법칙이 성립하는 군
- 아벨군이 되면 1종류의 이항 연산에 대해 4개의 기본 연산을 만족하게 됨. (결합법칙/교환법칙/항등원/역원)
- 환(ring)
- 덧셈에 대하여 아벨군, 곱셈에 대하여 반군을 이루고 분배법칙이 성립하는 대수구조
- 환부터는 2종류의 이항 연산이 부여 됨.
- 1종류의 이항 연산은 아벨군을 만족해야 하고, 나머지 1종류의 이항 연산은 반군을 만족 시켜야 함.
- 가 군(module)
- 어떤 환의 원소에 대한 곱셈이 주어지며, 분배법칙이 성립하는 아벨군
- 벡터공간은 가군의 한 종류
- 가군은 환에서 원소를 받는게 기본이지만, 벡터공간은 보다 엄격하게 체에서 원소를 받아 온다.
- 가환 환(commutative ring)
- 곱셈이 교환법칙을 만족하는 환
- 환 중에 반군을 만족 시키는 나머지 1종류의 연산이 추가로 교환 법칙을 만족. 하지만 항등원과 역원은 존재하지 않는다.
- 나눗셈 환(division ring)
- 0이 아닌 모든 원소가 역원을 가지며, 원소의 개수가 둘 이상인 환
- 환 중에 반군을 만족 시키는 나머지 1종류의 연산이 항등원과 역원을 가짐. 하지만 교환 법칙은 만족하지 않는다.
- 체(field)
- 가환환인 나눗셈환. 즉, 사칙연산이 자유로이 시행될 수 있고 산술의 잘 알려진 규칙들을 만족하는 대수구조
- 2종류의 이항연산이 모두 4개의 기본연산을 만족 함.
- 보다 상세한 내용은 아래 링크 참조
수 종류
- 복소수(complex number)
- 제곱해서 -1이 되는 $i$를 가진 수 체계
- $i^{2} = -1$
- 체를 이룬다
- 2원수(dual number)
- 제곱해서 0이 되는 $\epsilon$을 가진 수 체계
- $\epsilon^{2} = 0 (\epsilon \neq 0)$
- 분할 복소수(split-complex number)
- 제곱해서 1이 되는 $j$를 가진 수 체계
- $j^{2} = 1 (j \neq \pm 1)$
- 4원수(Quaternion)
- 복소수를 확장한 체계로 제곱해서 -1이 되지만 서로 다른 $i, j, k$를 가진 수 체계.
- $i^{2} = j^{2} = k^{2} = ijk = -1 (i \neq j, j \neq k, k \neq i)$
- 곱셉의 교환법칙이 성립하지 않기 때문에 체는 아니고 꼬인체라고 한다.
- $i, j$만 가진 3원수는 존재하지 않는다고 한다. 환이 형성되지 않기 때문
- 4원수를 더 확장해서 8원수, 16원수 등도 있지만 확장될 수록 점점 교환법칙, 결합법칙도 성립되지 않아서 무질서해지므로 큰 의미를 두지 않는다.
2원수와 분할 복소수를 보면 수학의 자유로움이 느껴진다. 8원수 이상의 확장도 그렇고 —가능하긴 하지만, 그것이 수학적 의미를 가지지 못하는 것도 인정함.