벡터 $\bold{v}$를 지나면서 벡터 $\bold{v}$와 직교하는 직선의 방정식

$$ \bold{v}^\top\bold{x} - \|\bold{v}\|^2 = 0 $$

• 직선이 $\bold{v}$에 대해 직교하고, 직선에 대해 점의 거리는 점에서 직선에 대해 내린 수직선의 길이로 정의되는데, 여기서 그 수직선이 $\bold{v}$ 이므로 이 직선의 원점에서의 거리는 $\|\bold{v}\|$가 된다.

벡터 $\bold{v}$를 지나지 않으면서 벡터 $\bold{v}$와 직교하는 직선의 방정식

• 직선이 $\bold{v}$를 지나지 않지만 직교하므로 $c\bold{v}$를 지난다고 정의. ($\bold{v}$를 $c\bold{v}$로 대체)

$$ c \bold{v}^\top \bold{x} - c^2 \|\bold{v}\|^2 = 0 \\ \Leftrightarrow \bold{v}^\top \bold{x} - c \|\bold{v}\|^2 = 0 $$

• 이 직선의 원점에서의 거리는 직선이 지나는 벡터인 $c\|\bold{v}\|$가 된다.

벡터 $\bold{v}$를 지나면서 직교하는 직선 위에 있지 않은 점 $\bold{x}$와 직선의 거리

• 직선이 $\bold{v}$와 직교하고 있기 때문에 직선 위에 있지 않은 점 $\bold{x}$에 대해 $\bold{v}$와 평행한 성분을 구하면, 그 성분은 직선과 수직이 된다.
• $\bold{x}$에 대해 $\bold{v}$와 평행한 성분의 길이는 $\bold{v}$에서 $\bold{x}$까지의 평행한 길이가 되고, $\bold{v}$가 직선 위에 존재하므로, $\bold{v}$에서 $\bold{x}$까지의 평행한 길이에서 $\bold{v}$의 길이를 빼면 직선에서 $\bold{x}$의 길이가 된다.
• 최종적으로 점의 위치에 따라 이 값이 음수가 나올 수 있으므로 절대값을 씌워준다.

$$ |\|\bold{x}^{\|\bold{v}}\| - \|\bold{v}\||| = \left| {\bold{x}^\top \bold{v} \over \|\bold{v}\|} - \|\bold{v}\| \right| = \left| {\bold{x}^\top \bold{v} - \|\bold{v}\|^2 \over \|\bold{v}\| } \right| $$

참조

• ‣