(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
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개념
- 함수는 관계 중에 아래와 같은 정의를 만족하는 관계
- 관계 $f : X \to Y$를 함수라고 부른다. ($X$는 정의역, $Y$는 공역)
- $Dom(f) = X$
- $(a, b) \in F, (a, c) \in f \Rightarrow b = c$
- $(a, b) \in f \Leftrightarrow b = f(a)$
- 함수로서 같음
- 함수 $f : X \to Y$, 함수 $g : X \to Y$ 일 때
- $f = g \Leftrightarrow \forall x \in X, f(x) = g(x)$
- 만일 두 함수 $f : X \to Y, g : X \to W$ 일 때 $g(x) = f(x)$ 라도 두 함수는 같지 않을 수 있다.
- $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^{2}$
- $g : \mathbb{R} \to \{x | x \geq 0 \}, g(x) = x^{2}$
- 두 함수가 위와 같이 정의되었다면 두 함수는 집합으로써 같을지라도 함수 자체는 같지 않다.
- $f : A \to B, g : C \to D, x \in A \cap C, f(x) = g(x)$ 이면,
- $f \cup g : A \cup C \to B \cup D$ 는 함수이고
- $(f \cup g)(x) = \begin{cases} f(x) (x \in A) \\ g(x) (x \in C) \end{cases}$ 이다.
- 쉬운 예로는$f(x) = \begin{cases} x^{2} (x < 0) \\ x (x \geq 0) \end{cases}$ $x$가 $0$보다 작을 때와 클 때가 따로 정의되는 함수
- $f : X \to Y, A \subseteq X, B \subseteq Y$일 때,
- $f(A) = \{ f(x) | x \in A \}$ (상)
- $f^{-1}(B) = \{ x | f(x) \in B \}$ (역상)
- 예를 들면 $f(x) = x^{2} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 일 때
- $A = \{ 1, 2, 3, 4 \}$ 라고 하면 $A$의 상 $f(A) = \{ 1, 4, 9, 16 \}$이고
- $B = \{ 1, 2 \}$ 라고 하면 $B$의 역상 $f^{-1}(B) = \{ -1, 1, -\sqrt{2}, \sqrt{2} \}$
함수식
- $f : X \to Y$ 일 때,
- $A \subseteq X$ 일 때, $x \in A \Rightarrow f(x) \in f(A)$
- $B \subseteq Y$ 일 때, $x \in f^{-1}(B) \Leftrightarrow f(x) \in B$
- $f(\emptyset) = \emptyset$
- $f(\{x\}) = \{ f(x) \}$
- $A \subseteq B \subseteq X \Rightarrow f(A) \subseteq f(B)$
- $C \subseteq D \subseteq X \Rightarrow f^{-1}(C) \subseteq f^{-1}(D)$
- $F \subseteq P(X)$ 일 때, ($P(X)$는 $X$의 멱집합 즉, $X$의 모든 부분집합들의 집합)
- $f(\cup_{A \in F} A) = \cup_{A \in F} f(A)$
- $A$의 합집합에 대한 함수는 $A$에 대한 모든 함수의 합집합과 같다.
- $f(\cap F) \subseteq \cap_{A \in F} f(A)$
- $F$의 교집합에 대한 함수는 $A$에 대한 모든 함수의 교집합에 부분집합이다.
- $f^{-1}(\cup F) = \cup_{A \in F} f^{-1} (A)$
- $F$의 합집합의 역상은 $A$에 대한 모든 함수의 역상의 합집합과 같다.
- $f^{-1}(\cap F) = \cap_{A \in F} f^{-1}(A)$
- $F$의 교집합에 대한 역상은 $A$에 대한 모든 역상의 교집합과 같다. (역상에 대해서는 부분집합이 아니라 같음)