적분은 본래 무한 합을 구하는 연산이었는데 —원래 기호도 $\lim \sum$로 썼다가 이후 간단히 $\int$가 됨— , 미분의 역연산이라는 것이 밝혀져서 미분의 역연산이라는 개념으로 부정적분과 합을 구하는 의미의 정적분이 구분되었다.
미분이 연속인 경우에만 정의가 되는 것과 달리 —이산인 경우에는 차분— 적분은 연속과 이산 모두에서 정의가 된다. 연속인 경우에는 무한합의 의미가 되며, 이산인 경우에는 누적합의 의미가 된다. 미분의 역연산이 적분인 것과 마찬가지로 차분의 역연산도 적분이 된다.
적분은 덧셈($+$) 연산으로 구할 수 없는 합을 구하는데도 사용된다. ex) 0-1 사이에 존재하는 무리수의 길이
부정적분은 미분의 역연산으로 적분할 함수와 함께 상수 $C$를 표기한다.
$$ \int f(x) dx + C $$
여기서 $dx$는 $x$의 미소변화량(미분에도 쓰이는)으로 적분은 구간 내에서 함수 값 $f(x)$를 $x$의 미소변화량 $dx$와 곱한 것을 모두 합($\int$)한다는 개념이 된다. (여기서 $\int$은 더하기 $\sum$와 다름에 유의하라. 덧셈으로 구할 수 없는 값을 적분으로는 구할 수 있다. 예컨대 점의 길이는 $0$이기 때문에 점의 길이를 아무리 더해도 선의 길이를 얻을 수 없지만, 구간 내 모든 점을 적분하면 선의 길이를 얻을 수 있다)
정적분은 구간이 존재하므로 다음과 같이 표기한다. 정적분은 구간 내 실제 합을 구하기 때문에 상수 $C$가 따로 없다.
$$ S = \int_{a}^{b} f(x) dx $$
적분과 미분은 서로의 역연산임에 주의. 즉 적분 결과를 미분하면 원래의 형태가 되고, 거꾸로 미분한 것을 다시 적분하면 원래의 형태(부정적분인 경우 $+ C$가 더해진)가 된다.
미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)에 따라 함수 $f$가 구간 $[0, x]$에서 미분가능하고 $f'$가 연속이면 다음이 성립한다.
$$ f(x) = f(0) + \int_0^x f'(t)dt $$
아래에서 $a$는 상수
$$ \int a \ dx = ax + C $$
$$ \int x^n dx = {1 \over n+1} x^{n+1} + C $$
만일 $f(x) = {1 \over x}$이었다면 ${1 \over -1 + 1} x^{-1 + 1}$가 되어 정의가 되지 않는다. 이 경우에는 다음과 같이 적분된다.
$$ \int {1 \over x} dx = \ln |x| + C $$