• 적분은 본래 무한 합을 구하는 연산인데 —그래서 원래 기호도 $\lim \sum$로 썼다가 이후 $\int$가 됨— , 미분의 역연산이라는 것이 밝혀져서 미분의 역연산이라는 개념으로 부정적분과 합을 구하는 의미의 정적분이 구분된다.
  • 정적분은 $+$ 연산으로 구할 수 없는 합을 구하는데도 사용된다. ex) 0-1 사이에 존재하는 유리수나 무리수의 길이

적분 기호

• 부정적분은 미분의 역연산으로 적분할 함수와 함께 상수 $C$를 표기한다.
  • $dx$는 $x$에 대해 적분을 수행한다는 의미

$$ \int f(x) dx + C $$

• 정적분은 구간이 존재하므로 다음과 같이 표기한다.
  • 정적분은 구간 내 실제 합을 구하기 때문에 상수 $C$가 따로 없다.

$$ S = \int_{a}^{b} f(x) dx $$

상수 적분

$$ \int C_1 dx = C_1x + C_2 $$

거듭제곱 적분

$$ \int x^n dx = {1 \over n+1} x^{n+1} + C $$

• 만일 $f(x) = {1 \over x}$이었다면 ${1 \over -1 + 1} x^{-1 + 1}$가 되어 정의가 되지 않는다. 이 경우에는 다음과 같이 적분된다.

$$ \int {1 \over x} dx = \ln |x| + C $$

• 같은 맥락에서 ${1 \over (x + n)}$에 대해 다음처럼 적분된다.

$$ \int {1 \over x + n} dx = \ln |x + n| + C $$

• ${1 \over (x + n)^2}$인 경우 다음처럼 적분된다.

$$ \int {1 \over (x+1)^2} dx = \int (x+1)^{-2} dx = {1 \over -2 + 1} (x+1)^{-2+1} + C=- {1 \over x+n} + C $$

• 이 꼴을 일반화 시키면 다음과 같다.

$$ \int {1 \over (x+n)^m} dx = \int (x+n)^{-m} dx = {1 \over -m+1} (x + n)^{-m+1} + C \ (m \neq -1) $$

지수 적분