테일러 급수와 매클로린 급수는 모두 복잡한 함수를 다항식 함수로 근사하는 방법이다. 매클로린 급수는 테일러 급수에서 $a = 0$인 특별한 경우에 해당한다.

매클로린 급수

함수 $f(x)$에 대한 매클로린 급수는 다음과 같이 정의된다.

$$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty {f^{(n)}(0) \over n!} x^n $$

여기서 $f^{(n)}$은 $f$의 $n$차 도함수를 의미한다.

위의 정의대로 실제로 작성하면 다음과 같은 모양이 된다.

$$ f(x) \approx f(0) + {f^{(1)}(0) \over 1!} x + {f^{(2)}(0)\over 2!} x^2 + { f^{(3)}(0)\over 3!} x^3 + ... $$

$e^x$에 대한 매클로린 급수는 다음과 같이 구한다.

$$ e^x = \sum_{n=0}^\infty {x^n \over n!} \approx 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + ... $$

$\sin(x)$에 대한 매클로린 급수는 다음과 같이 구한다.

$$ \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \over (2n+1)!}x^{2n+1} \approx x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - {x^7 \over 7!} + ... $$

$\cos(x)$에 대한 매클로린 급수는 다음과 같이 구한다.

$$ \cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \over (2n)!}x^{2n} \approx 1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - {x^6 \over 6!} + ... $$

테일러 급수

함수 $f(x)$의 점 $a$에서의 테일러 급수는 다음과 같이 정의된다.

$$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty {f^{(n)}(a) \over n!}(x-a)^n $$

여기서 $f^{(n)}$은 $f$의 $n$차 도함수를 의미한다.

위의 정의대로 실제로 작성하면 다음과 같은 모양이 된다.

$$ f(x) \approx f(a) + {f^{(1)}(a)\over 1!} (x-a) + {f^{(2)}(a)\over 2!} (x-a)^2 + { f^{(3)}(a)\over 3!} (x-a)^3 + ... $$