삼각 함수는 기본적으로 직각 삼각형의 밑변, 높이, 빗변의 관계를 이용해 정의된다. 편의상 직각 삼각형을 2차원 좌표평면에 직각이 아닌 꼭지점을 원점에 두고 원점과 직각 꼭지점을 잇는 변을 $x$축과 나란히 두면, 해당 변을 밑변($a$)이라 할 수 있고, 직각이 마주보는 변을 빗변($c)$이라 할 수 있고, 나머지 한 변을 높이($b$)라 할 수 있다. 이를 이용하여 원점에 위치한 꼭지점의 각 $\theta$에 대해 아래와 같이 정의할 수 있다.
$$ \begin{aligned} \cos \theta &= \text{밑변/빗변} = {{a\over c}} \\ \sin \theta &=\text{높이/빗변} = {b\over c} \\ \tan\theta &= \text{높이/밑변} = {b\over a}\end{aligned} $$
직각 삼각형을 좌표 평면에 배치하면 빗변을 그 길이($c$)만큼을 반지름으로 갖는 원의 반지름이라 볼 수 있다. 계산의 편의를 위해 $x^2+y^2 = 1$을 만족하는 단위원을 생각하면, 빗변의 원점이 아닌 끝점의 위치를 $(x,y)$로 나타낼 수 있는데, 이 점을 각 $\theta$를 이용하여 $(\cos \theta, \sin \theta)$로도 나타낼 수 있다(여기서 $\tan \theta = {\sin \theta \over \cos \theta}$가 성립한다). 이에 따라 다음이 성립한다.
$$ \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 $$
이에 따라 $\sec \theta = {1\over \cos\theta}$와 $\sin\theta = \cos\theta\tan\theta$에 대해 다음이 성립한다.
$$ \begin{aligned}\cos^2\theta + (\cos\theta\tan\theta)^2 &= 1 \\ \cos^2\theta(\tan^2\theta + 1) &= 1 \\ \tan^2\theta + 1 &= {1\over\cos^2\theta} = \sec^2\theta\\ \sec^2\theta-\tan^2\theta &= 1\end{aligned} $$
단위원에서 각 $\theta$를 기준으로 $\cos$는 $x$, $\sin$은 $y$, $\tan$는 ${y\over x}$를 나타내기 때문에 $\cos 0 =1, \sin 0 = 0, \tan 0 = 0$이 성립한다.
또한 삼각함수는 각 $\theta$를 기준으로 하고 각 $\theta$는 주기성을 갖기 때문에 삼각함수는 주기 함수가 된다(이러한 점을 생각해 보면 삼각함수보다 원함수라고 이해하는게 편리하다).
한편 $\cos, \sin$의 그래프를 각각 그려보면 $\cos$는 $x=0$인 선을 대칭으로 하여 짝함수가 됨을 알 수 있고, $\sin$은 $x=0$인 점에서 회전 대칭하여 홀함수가 됨을 알 수 있다. 즉 다음이 성립한다. (즉 $\tan$은 홀함수이다)
$$ \begin{aligned} \cos (-\theta) &= \cos (\theta) \\ \sin(-\theta) &= -\sin (\theta) \\\tan(-\theta) &= {\sin(-\theta)\over\cos(-\theta)} = {-\sin(\theta)\over\cos(\theta)} = -\tan(\theta) \end{aligned} $$
또한 $\cos$과 $\sin$의 그래프는 서로 ${\pi\over2}$만큼 shift 되어 있기 때문에 다음이 성립한다.
$$ \begin{aligned} \cos\left(\theta -{\pi\over2}\right) &= \sin \theta \\ \cos\left(\theta +{\pi\over2}\right) &= -\sin \theta \\ \cos\left({\pi\over2}-\theta\right) &= \cos\left(-\left(\theta-{\pi\over2}\right)\right) = \cos\left(\theta-{\pi\over2}\right) = \sin\theta \\ \sin\left(\theta-{\pi\over2}\right) &= -\cos \theta \\ \sin\left(\theta+{\pi\over2}\right) &= \cos \theta \\ \sin\left({\pi\over2}-\theta\right) &= \sin \left(-\left(\theta-{\pi\over2}\right)\right) = -\sin\left(\theta-{\pi\over2}\right) = \cos\theta \end{aligned} $$
따라서 $\tan \theta ={\sin\theta\over\cos\theta}$에 대해 다음이 성립한다.
$$ \begin{aligned} \tan\left(\theta -{\pi\over2}\right) &= {\sin (\theta -{\pi\over2})\over \cos(\theta-{\pi\over2})} = {-\cos\theta\over\sin\theta} = -{1\over\tan\theta} = -\cot\theta \\ \tan\left(\theta +{\pi\over2}\right) &= {\sin (\theta +{\pi\over2})\over \cos(\theta+{\pi\over2})} = {\cos\theta\over-\sin\theta} = -{1\over\tan\theta} = -\cot\theta \\ \tan\left({\pi\over2}-\theta\right) &= \tan\left(-\left(\theta-{\pi\over2}\right)\right) = -\tan\left(\theta-{\pi\over2}\right) = {1\over\tan\theta} = \cot\theta \end{aligned} $$
또한 삼각함수의 주기성에 의해 다음이 성립한다.
$$ \begin{aligned} \cos(\pi-\theta) &= -\cos\theta \\ \sin(\pi-\theta) &= \sin\theta \\ \tan(\pi-\theta) &= {\sin(\pi-\theta)\over\cos(\pi-\theta)}={\sin\theta\over-\cos\theta}= -\tan \theta \end{aligned} $$
한편 $\cos, \sin$에 대해 복소수 $z$를 사용하면 다음과 같이 지수함수 정의가 가능하다.
$$ \begin{aligned} \cos z &= {e^{iz}+e^{-iz} \over 2} \\ \sin z &= {e^{iz}-e^{-iz}\over2i} \\ \tan z &= {\sin z\over \cos z} = {e^{iz}-e^{-iz} \over i(e^{iz}+e^{-iz})} \end{aligned} $$