https://youtu.be/nX6-bgPFsA8

벡터와 좌표계

평면벡터

$R^{2}$에서 크기(스칼라)와 방향의 의미를 모두 포함하는 표현 도구

• 벡터는 크기와 방향만 고려하므로 위치가 다르더라도 크기와 방향이 같으면 같은 것으로 인정한다. 고로 아래 이미지상 v와 동일한 벡터는 d가 된다.

공간벡터

$R^{3}$에서 크기와 방향의 의미를 모두 포함하는 표현 도구

n차원 벡터

$R^{n}$ 상의 벡터 $v = (v_{1}, v_{2}, ... , v_{n}) = \vec{AB} = (b_{1} - a_{1}, b_{2} - a_{2}, ... , b_{n} - a_{n})$

• 영벡터 $\vec{0} = 0 = (0, 0, ... , 0)$
• 두 벡터 $v = (v_{1}, v_{2}, ... , v_{n}), w = (w_{1}, w_{2}, ... , w_{n})$가 같다
  • $\Leftrightarrow v_{1} = w_{1}, v_{2} = w_{2}, ... , v_{n} = w_{n}$

벡터의 연산

노름

• 벡터의 크기 (또는 길이) 라고 한다.
  • $\|v\| = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + ... + v_{n}^{2}}$
• 노름이 1인 벡터를 단위벡터라고 한다.
  • 정규화: 벡터의 단위 벡터 (크기를 1)로 만드는 과정.
    • ${v \over \|v\|} = \hat{v}$
• $e_{1} = (1, 0, 0, ... , 0), e_{2} = (0, 1, 0, ... , 0)$ 등을 표준 단위벡터라고 한다.
  • 벡터를 표준단위 벡터를 이용하여 아래와 같이 표현 가능
  • $v = (v_{1}, v_{2}, ... , v_{n}) = v_{1} e_{1} + v_{2} e_{2} + ... + v_{n} e_{n}$