기본행렬연산

• $m \times n$ 행렬 $\bold{A}$에 대해 $\bold{A}$의 행(열)에 대한 다음 3가지 연산을 기본행(열)연산(elementary row(column) operation)이라 한다.
  1. $\bold{A}$의 두 행(열)을 교환하는 것
  2. $\bold{A}$의 한 행(열)에 영이 아닌 스칼라를 곱하는 것
  3. $\bold{A}$의 한 행(열)에 다른 행(열)의 스칼라배를 더하는 것
• 행 연산(row operation)과 열 연산(column operation)을 통틀어 기본연산(elementary operation)이라 한다. 기본연산의 1, 2, 3을 각각 1형(type), 2형, 3형이라 한다.
• $n \times n$ 기본행렬(elementary matrix)은 항등행렬 $\bold{I}_n$에 기본연산을 적용하여 얻은 행렬이다. $\bold{I}_n$에 1형, 2형, 3형 연산을 하여 얻은 행렬을 각각 1형, 2형, 3형이라 한다.
  • 예컨대 $\bold{I}_3$의 1행과 2행을 교환하면 다음 기본행렬을 얻는다.

$$ \bold{E} = \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) $$

• 어떤 행렬에 기본행연산을 적용하는 것은 그 행렬에 적절한 기본행렬을 곱하는 것과 동일하다.
• 기본행렬은 가역이다. 그 역행렬은 같은 종류의 기본행렬이다.

연립 일차 방정식(system of linear equations)

• $m \times n$ 행렬을 아래의 연립 일차 방정식의 계수행렬(coefficient matrix)라고 할 수 있다.

$$ \begin{aligned} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + ... + a_{1n} x_n &= b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + ... + a_{2n} x_n &= b_2 \\ \vdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + ... + a_{mn} x_n &= b_m \end{aligned} $$

$$ \bold{A} = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix} \right) $$

• $\bold{x}$와 $\bold{b}$도 다음과 같이 정의하면 연립 방정식은 하나의 행렬식 $\bold{Ax} = \bold{b}$로 나타낼 수 있다.

$$ \bold{x} = \left( \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{matrix} \right), \bold{b} = \left( \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n}\end{matrix} \right) $$

• $\bold{As}=\bold{b}$인 $n$ 순서쌍 $\bold{s}$를 연립 일차 방정식의 해(solution)라 하고, 연립 일차 방정식의 해들의 집합을 이 연립 일차 방정식의 해집합이라 한다.

$$ \bold{s} = \left( \begin{matrix} s_{1} \\ s_{2} \\ \vdots \\ s_{n}\end{matrix} \right) \in F^n $$

• 연립 일차 방정식의 해집합이 공집합이 아니면 이 연립 일차 방정식을 모순이 없다(consistent) 또는 해가 존재한다고 하며, 그렇지 않은 경우 모순이 있다(inconsistent) 또는 해가 존재하지 않는다고 한다.
• $n$개의 미지수와 $m$개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식 $\bold{Ax} = \bold{b}$는 $\bold{b} = \bold{0}$일 때 동차(homogeneous)라 한다. 동차가 아닌 연립방정식은 비동차(non-homogeneous)이다.
  • 임의의 동차 연립일차 방정식은 적어도 하나의 해(영벡터)가 있다.
• 체 $F$에서 $n$개의 미지수와 $m$개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식 $\bold{Ax}= \bold{0}$을 생각하자. 방정식 $\bold{Ax} =\bold{0}$의 해집합을 $K$라 할 때, $K= N(L_\bold{A})$이다. 즉 $K$는 $F^n$의 부분공간이고 차원은 $n - \text{rank}(L_\bold{A}) = n - \text{rank}(\bold{A})$이다.
• $m < n$이면 연립방정식 $\bold{Ax} = \bold{0}$은 영벡터가 아닌 해가 있다.